2.5向量的应用5分钟训练（预习类训练,可用于课前）1.已知三个力F1=(3，4)，F2=(2，-5)，F3=(x，y)的合力F1+F2+F3=0.求F3的坐标.解:由题设F1+F2+F3=0，得(3，4)+(2，-5)+(x，y)=(0，0)，即∴F3=(-5，1).2.在四边形ABCD中,·=0,且=,则四边形ABCD是()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形思路解析:由·=0得AB⊥BC,又=,∴AB与DC平行且相等.从而四边形ABCD是矩形.答案:C10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来.试求实际风速和方向.解:设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v-a.设=-a，=-2a. +=，∴=v-a.这就是感到由正北方向吹来的风速. +=，∴=v-2a.于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.由题意知∠PBO=45°，⊥BO，BA=AO，可知△POB为等腰直角三角形，∴PO=PB=a，即|v|=a.∴实际风速是a的西北风.2.已知两恒力F1=(3,4)、F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求:(1)F1、F2分别对质点所做的功；(2)F1、F2的合力F对质点所做的功.思路解析:设物体在力F作用下位移为s,则所做的功为W=F·s.解:=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).(1)W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)=-99(焦耳),W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)=-3(焦耳).(2)W=F·=(F1+F2)·=［(3,4)+(6,-5)］·(-13,-15)=(9,-1)·(-13,-15)=-102(焦耳).3.(2005上海)直角坐标平面xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足·=4，则点P的轨迹方程是_________________.思路解析:设点P的坐标是(x,y)，则由·=4知x+2y=4x+2y-4=0.答案:x+2y-4=04.如图2-5-1所示,已知AC、BD是梯形ABCD的对角线，E、F分别为BD、AC的中点，求证:EF∥BC.图2-5-1证明:设=a，=b. ∥，∴=λ=λb.则=-=b-a. E为BD的中点，∴==(b-a). F为AC的中点，∴=+=+=+(-)=(+)=(-)=(λb-a).∴=-=(λb-a)-(b-a)=(λ-)b=［(λ-)·］.∴∥，即EF∥BC.5.如图2-5-2所示，已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线.求证:AC⊥BD.图2-5-2思路解析:对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的条件.而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的条件.证法一: =+，=-，∴·=(+)·(-)=||2-||2=0.∴AC⊥BD.证法二:以BC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(0，0)，A(a，b)，C(c，0)，则由|AB|=|BC|得a2+b2=c2. =-=(c，0)-(a，b)=(c-a，-b)，=+=(a，b)+(c，0)=(c+a，b)，∴·=c2-a2-b2=0.∴⊥，即AC⊥BD.志鸿教育乐园少年风范约翰是个聪颖的孩子,成绩不算很好,但凡事都有独特的见解.一次,老师请一位心理学家来考他,那位专家单刀直入地问道:“《罗密欧与朱丽叶》是谁的作品？”“我怎么会知道呢！”约翰爱理不理地答道，“像我这样的年纪，是不会看莎士比亚的作品的。”30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.用力F推动一物体G，使其沿水平方向运动s，F与垂直方向的夹角为θ，则F对物体G所做的功为()A.F·s·cosθB.F·s·sinθC.|F|·s·cosθD.|F|·s·sinθ思路解析:根据力对物体做功的定义，W=F·s·cos(90°-θ)=F·s·sinθ.答案:B2.一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则()A.|v1|＜|v2|B.|v1|＞|v2|C.|v1|≤|v2|D.|v1|≥|v2|思路解析:只有当船速大于水速时，船速在水速方向的分速度能够和水速抵消，船才能垂直到达对岸.答案:B3.平面上有两个向量e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度大小为|e1+e2|.另一点Q从Q0(-2,-1)出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1+2e2|.设P、Q在t=0秒时分别在P0、Q0处，则当PQ⊥P0Q0时，t=_________________.思路解析: P0(-1,2),Q0(-2,-1),∴=(-1,-3).又 e1+e2=(1,1),∴|e1+e2|=. 3e1+2e2=(3,2),∴|3e1+2e2|=.∴当t时刻时,点P的位置为(-1+t,2+t),点Q的位置为(-2+3t,-1+2t).∴=(-1+2t,-3+t). PQ⊥P0Q0,∴(-1)·(-1+2t)+(-3)·(-3+t)=0.∴t=2.答案:24.已知A(-1，-1)、B(1，3)、C(2，5)，求证:A、B、C三点共线....
