高中数学第2章平面向量2.5向量的应用例题与探究苏教版必修4典题精讲例1ABCD是正方形,BE∥AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证：AF=AE.思路分析：建立适当的坐标系,根据坐标运算求出,的坐标,进而证明AF=AE.证明：如图2-5-1,建立直角坐标系,设正方形边长为1,则A(-1,1),B(0,1).设E(x,y),则图2-5-1=(x,y-1),=(1,-1). ∥,∴x·（-1）-1·（y-1）=0.∴x+y-1=0.又 ||=||,∴x2+y2-2=0.由x2+y2-2=0即E().设F(m,1)，由=(m,1)和=()共线,得m-=0.解得m=-2-.∴F(-2-,1),=(-1-,0),=(),∴||==1+=||,∴AF=AE.绿色通道：把几何问题放入适当的坐标系中就赋予了有关点及向量的坐标,从而进行相关运算,使问题得到解决.变式训练已知△ABC中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N分别是AB、AC的中点,D是BC的中点,MN与AD交于F,求.思路分析：由已知条件可求出、的坐标,然后再由中点坐标公式进一步求出,进而再求出.解： A(7,8),B(3,5),C(4,3)，∴=(3-7,5-8)=(-4,-3),=(4-7,3-8)=(-3,-5).又 D是BC的中点,∴=(+)=(-3.5,-4).又M、N分别是AB、AC的中点,∴F为AD的中点.∴=-=(1.75,2).例2一条河的两岸平行，河的宽度为d=500m，如图2-5-2所示，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船的航行速度为|v1|=10km/h，水流速度为|v2|=4km/h.图2-5-2(1)试求v1与v2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1min);(2)要使船到达对岸所用时间最少,v1与v2的夹角应为多少?思路分析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直.原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与河水的流速的合速度.解:(1)依题意,要使船到达对岸,就要使v1与v2的合速度的方向正好垂直于对岸,所以|v|==≈9.2km/h,v1与v的夹角α满足sinα==0.92,又α为钝角，故v1与v2的夹角θ=114°；船垂直到达对岸所用的时间t=×60≈3.3min.(2)设v1与v2的夹角为θ(如图2-5-3)，图2-5-3v1与v2在竖直方向上的分速度的和为|v1|·sinθ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d=0.5km，从而所用的时间为t=，显然，当θ=90°时，t最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，t==0.05h=3min.绿色通道：解决此类问题的关键在于明确“水速+船速=船的实际速度”，注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向.结合向量应用的具体问题,在理解向量知识和应用两方面下功夫,将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象.变式训练如图2-5-4，一物体受到两个大小均为60N的力的作用，两力夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向.图2-5-4解：设、分别表示两力，以OA、OB为邻边作OACB，则就是合力.据题意，△OAC为等腰三角形且∠COA=30°，过A作AD⊥OC垂足为D，则在Rt△OAD中｜｜=｜｜·cos30°=60×=,故｜｜=2｜｜=.所以合力的大小为N，方向与水平方向成30°角.例3(2006四川高考卷，理7)如图2-5-5，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（）图2-5-5A.；B.；C.；D..思路解析：设边长|P1P2|=a，则∠P2P1P3=.|P1P3|=a,=a·a·，∠P2P1P4=，|P1P4|=2a，=a·2a·=a2，=0，<0，∴数量积中最大的是.答案：A黑色陷阱：本题易因找错向量的夹角如误认为∠P2P1P3=，或数量积公式用错而出现错误.变式训练如图2-5-6,设四边形ABCD是⊙O的内接正方形,P是⊙O上的任一点,求证：||2+||2+||2+||2与P点的位置无关.图2-5-6思路分析：根据向量的三角形法则表示出、、、,从而判断出||2+||2+||2+||2为定值.解：设圆的半径为r. =-,=-,=-,=-,则||2=(-)2=2-2·+2=2r2-2·，||2=2r2-2·，||2=2r2-2·，||2=2r2-2·，∴||2+||2+||2+||2=8r2-2（+++）·=8r2-2·0·=8r2(定值).∴||2+||2+||2+||2与P点的位置无关.问题探究问题1一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳臂受伤,试一试你能用向量知识加以解释吗？导思：这是日常生活中司空见惯的事情，解决这个题目的关键是首先建立数学模型，然后根据数学知识来解决.针对小孩的两条胳膊画出受力图形,然后通过胳膊受力分析,建立数学模型：|F1|=,θ∈［0,π］来确定何种情景时,小孩的胳膊容易受伤.探究：设小孩的体重为G,两胳膊受力分别为F1、F2,且F1=F2,两...
