高中数学第2章平面向量2.4向量的数量积课堂导学苏教版必修4三点剖析1.平面向量数量积的概念及其运算律【例1】已知|a|=4，|b|=3，若：（1）a∥b；（2）a⊥b；（3）a与b的夹角为60°，分别求a·b.思路分析：本题运用数量积的定义求数量积.已知|a|与|b|，a与b的夹角，由定义可求a·b.解：(1)当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°,a·b=|a||b|cos0°=4×3×1=12;若a与b反向，则a与b的夹角θ=180°,a·b=|a||b|cos180°=4×3×(-1)=-12.(2)当a⊥b时,a与b的夹角为90°,a·b=|a|·|b|cos90°=0,(3)当a与b的夹角θ=60°时，a·b=|a||b|cos60°=4×3×=6.温馨提示利用定义计算a与b的数量积，关键是确定两向量的夹角.当a∥b时，a与b的夹角可能是0°，也可能为180°，解题时容易遗漏180°的情形.2．平面向量数量积的应用【例2】已知|a|=,|b|=3，a与b的夹角为45°,求使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时，λ的取值范围.解：设a+λb与λa+b的夹角为θ.则cosθ=＞0,即(a+λb)·(λa+b)＞0,展开得，λa2+(λ2+1)a·b+λb2＞0.∵|a|=2,|b|=3,a·b=|a||b|cos45°=3,∴2λ+3(λ2+1)+9λ＞0,即3λ2+11λ+3＞0.λ＜或λ＞.另外θ=0°时，λ=1.故λ≠1.∴λ∈(-∞,)∪(,1)∪(1,+∞).温馨提示求夹角时，注意与三角函数、不等式等知识相结合，但要注意角的范围.3.平面向量数量积的运算律同实数的运算律的比较【例3】已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角为120°，求：（1）a·b；（2）（a+b）2；（3）a2-b2；（4）（2a-b）·（a+3b）.思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a+b）2=（a+b）·（a+b）=（a+b）·a+（a+b）·b=a·a+b·a+a·b+b·b=a2+2a·b+b2.解：（1）a·b=|a||b|cos120°=5×4×(-)=-10;(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=25-2×10+16=21;(3)a2-b2=|a|2-|b|2=25-16=9;(4)(2a-b)·（a+3b）=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×25+5×(-10)-3×16=-48.温馨提示(1)在进行向量数量积运算时，应严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a±b）2=a2±2a·b+b2，（a+b）·（a-b）=a2-b2，（a+b+c）=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.因此，有的同学会相当然的用（a·b）·c=a·（b·c）,这是错误的.各个击破类题演练1已知|a|=2，|b|=5，且
=45°,求a·b.解：由数量积的定义，a、b=|a||b|cos=2×5×cos45°=.变式提升1已知△ABC中，a=5,b=8，∠C=60°,求·.解：因为||=a=5,||=b=8,<,>=180°-∠C=180°-60°=120°,所以·=||||·cos<,>=5×8cos120°=-20.类题演练2已知a=(m+1,3),b=(1,m-1)，且a与b的夹角为钝角.若（2a+b）与(a-3b)垂直，求a与b夹角的余弦.解析：∵(2a+b)⊥(a-3b),∴2a2-5a·b-3b2=0.即2［(m+1)2+9］-5［m+1+3(m-1)］-3［1+(m-1)2］=0,整理得m2+10m-24=0,m=2或m=-12.∵a与b的夹角为钝角，∴m=2舍去.设a与b夹角为θ,则cosθ=.变式提升2(2006全国高考Ⅰ,文1)已知向量a、b满足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，则a与b的夹角为（）A.B.C.D.解析：cos=.∴a与b的夹角为，故选C.答案：C类题演练3已知|a|=|b|=5，=,求|a+b|，|a-b|.解：因为a2=|a|2=25，b2=|b|2=25，a·b=|a||b|cos=5×5cos=.所以|a+b|=（a+b）2=同样可求|a-b|=变式提升3（1）若向量a与b夹角为30°，且|a|=，|b|=1，则向量p=a+b与q=a-b的夹角的余弦为______________.思路分析：本题可利用cosθ=，由两向量的数量积和模求夹角余弦值.解：∵p·q=（a+b）·（a-b）=a2-b2=3-1=2，又∵|p|=|a+b|=,|q|=|a-b|=∴cosθ=.答案：（2）若非零向量α、β满足|α+β|=|α-β|，求α与β所成的角.思路分析：涉及模与夹角的问题，一般考虑向量的数量积，也可以从向量的线性运算入手结合模的几何意义解答.解：∵|α+β|=|α-β|,∴|α2|+2α·β+|β|2=|α|2-2α·β+|β|2，即4α·β=0，∴α·β=0，∴α⊥β.∴α与β所成的角为90°.
