高中数学第2章平面向量2.4向量的数量积自主训练苏教版必修4我夯基我达标1.|a|=3,|b|=4,向量a+b与a-b的位置关系为()A.平行B.垂直C.夹角为D.不平行也不垂直思路解析：因为(a+b)·(a-b)=a2-b2=0，所以(a+b)⊥(a-b).答案：B2.若向量b与向量a=（1，-2）的夹角是180°，且|b|=，则b等于()A.(-3,6)B.(3,-6)C.(6,-3)D.(-6,3)思路解析：由题意b与a共线，在再结合|b|=，列出关于b的坐标的方程即可解出.方法一：设b=λ(-1,2)，且λ>0，有(-λ)2+(2λ)2=()2b=(-3，6).方法二：由题意可知，向量a、b共线且方向相反.故可由方向相反排除B，C；由共线可知b=-3a.答案：A3.已知向量a=(cosθ,sinθ)，向量b=(,-1)，则|2a-b|的最大值和最小值分别是()A.,0B.4,C.16，0D.4，0思路解析：列出关于模的表达式，考查得到的函数即可得到答案.a·b=2sin(-θ),|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=8-8sin(-θ)，∴|2a-b|的最大值为4，最小值为0.答案：D4.在△ABC中，∠A=90°，=(k,1),=(2,3),则k的值是___________-.思路解析：由与垂直，列出关于k的方程，解方程即可得到答案.∵∠A=90°，∴⊥.∴·=2k+3=0.∴k=.答案：5.向量|a|=9，|b|=12，则|a+b|的最大值和最小值分别为____________.思路解析：由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|可得结果.答案：21和36.给出下列命题：①在△ABC中，若·<0，则△ABC是锐角三角形；②在△ABC中，若·>0，则△ABC是钝角三角形；③△ABC是直角三角形·=0；④△ABC是斜三角形的必要不充分条件是·≠0.其中，正确命题的序号是________思路解析：利用数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角还是钝角.①∵·<0，∴·=-·>0，∴∠B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.∴推不出△ABC是锐角三角形.故命题①是假命题.②∵·>0，∴·=-·<0.∠B是钝角，因而△ABC是钝角三角形.故命题②是真命题.③△ABC是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B、∠C.而·=0仅能保证∠B是直角.故命题③是假命题.④一方面，当△ABC是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故·≠0；另一方面，由·≠0只能得出∠B不是直角，但∠A或∠C中可能有一个直角.故命题④是真命题.答案：②④我综合我发展7.在△ABC中，=（2，3），=（1,k)，且△ABC中的一个内角为直角，求k的值.思路分析：注意到△ABC中的哪一个内角为直角不明确，因此要分类讨论.解：(1)当∠A=90°时，·=0.所以2×1+3k=0，即k=-.(2)当∠B=90°时，=-=(1-2,k-3),·=0.所以2×（-1）+3（k-3）=0，k=.(3)当∠C=90°时，·=0.所以-1+k（k-3）=0，k2-3k-1=0，k=.故当k=-或k=或k=时，△ABC为直角三角形.8.设a与b是两个互相垂直的单位向量，问当k为整数时，向量m=ka+b与向量n=a+kb的夹角能否为60°?证明你的结论.思路分析：本题问“当k为整数时，向量m=ka+b与向量n=a+kb的夹角能否为60°”，可以设夹角为60°，然后利用夹角公式求k，若有整数解，则求出;若没有，则不能.解：设夹角为60°，∵|m|2=|ka+b|2=k2+1，|n|2=|a+kb|2=k2+1，m·n=(ka+b)·（a+kb)=2k，∴2k=·cos60°，即4k=k2+1，解得k=2±，这与k为整数矛盾.∴m,n的夹角不能为60°.9.求函数y=的最大值.思路分析：这类题一般方法无法求解，只能联想到两点间距离公式.解：设A（-2，3），B（1，2），P（x，0），则||=，|PB|，∴y的最大值即为||-||的最大值.由图2-4-4可知,当A、B、P三点共线时||-||有最大值，||=，图2-4-4∴ymax=.10.求证：x1x2+y1y2≤.思路分析：若令a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，可联想到x1x2+y1y2=a·b，=|a|，=|b|.由此入手问题可得证.证明：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a,b的夹角为θ，则=|a|，=|b|,x1x2+y1y2=a·b.又∵a·b=|a||b|cosθ≤|a||b|=,∴x1x2+y1y2≤·.
