高中数学第2章平面向量2.4向量的数量积课后导练苏教版必修4基础达标1.设a=（5，y）,b=(-6,-4)，且a·b=-2,则y等于（）A.-5B.-7C.5D.7解析：a·b=-30-4y=-2,y=-7.答案：B2.下面给出了四个命题，其中正确的命题有______________个（）①a⊥ba·b=0②若a·b=0且a≠0,则b=0③若a≠0,b≠0，则|a·b|=|a|·|b|④当a与b反向时，a·b=-|a||b|A.1B.2C.3D.4解析：①④正确.答案：B3.在△ABC中，=a,=b,且a·b＜0，则△ABC是______________三角形（）A.锐角B.直角C.钝角D.等腰直角解析：因a·b=|a||b|cosθ<0,∴cosθ<0,∴θ>90°,∴△ABC是钝角三角形.答案：C4.若向量a⊥b，则一定有（）A.|a+b|=|a|+|b|B.|a+b|=|a|-|b|C.|a+b|=|a-b|D.|a-b|=|a|+|b|解析：∵a⊥b，由平行四边形法则知，以a、b为邻边的四边形为矩形，∴|a+b|=|a-b|.答案：C5.已知|m|=10,|n|=12,且(3m)·(n)=-36，则m与n的夹角是（）A.60°B.120°C.135°D.150°解析：由(3m)·(n)=-36,得m·n=-60.即10×12cosθ=-60.∴cosθ=-,θ=120°.答案：B6.设e1,e2是两个单位向量，它们的夹角是60°，则(2e1-e2)·(-3e1+2e2)等于（）A.-8B.C.D.8解析：（2e1-e2）·(-3e1+2e2)=-6e12-2e22+7e1·e2=-6-2+7×1×1×=-.∴选C.答案：C7.已知a=（-1，3），b=（2，-1），且（ka+b）⊥(a-2b)，则k的值为______________.解析：∵(ka+b)⊥(a-2b),∴(ka+b)·（a-2b）=0.而ka＋b=(2-k,3k-1),a-2b=(-5,5),∴-5(2-k)+5(3k-1)=0,解得k=.答案：8.A、B、C三点的坐标分别为A（1，0），B（3，1），C（2，0），a=,b=,则a与b的夹角是________________.解析：∵a==(-1,-1),b==(-1,0).∴a·b=1,|a|=,|b|=1,cosθ=.又θ∈［0°,180°］，∴θ=45°.答案：45°9.已知|a|=6,|b|=8,且a∥b，求a·b.解：∵a∥b，∴a与b同向或反向.若a与b同向，则θ=0°.a·b=|a||b|cos0°=6×8×1=48;若a与b反向，则θ=180°.∴a·b=|a||b|cos180°=6×8×(-1)=-48.10.已知|a|=,b=(2,-3),且a⊥b，求a的坐标.解：设a=(x,y).由|a|=，得x2+y2=52.又由a⊥b，得2x-3y=0.∴解得或故a=(6,4)或a=(-6,-4).综合运用11.已知=（-3，1），=（0，5），且∥，⊥，则点C的坐标为（）A.（-3，）B.(3,)C.(-3,)D.(3,)解析：设C（x,y），则=(x+3,y-1),=(x,y-5),=(3,4).∵∥,∴x+3=0,x=-3.又⊥AB，∴3x+4(y-5)=0,y=.∴C(-3,).答案：C12.平面上有三个点A（2，2）、M（1，3）、N（7,k），若∠MAN=90°，则k的值为（）A.6B.7C.8D.9解：依题意有=（-1，1），=（5，k-2）.∵⊥,∴·=0.即-5+k-2=0,k=7.∴应选B.答案：B13.已知A（1，2），B（2，3），C（-2，5），则△ABC的形状是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.正三角形解析：∵=（1，1），=（-3，3），∴·=-3+3=0.∴AB⊥AC，选A.答案：A14.若a=(1,m),b=(n,2),a⊥b，且|a|2+|b|2=6，则m2=____________,n2=____________.解析：∵a⊥b,∴a·b=0.2m+n=0.∵|a|2+|b|2=6,∴m2+1+n2+4=6,m2+n2=1,m2=,n2=.答案：15.已知向量a=（4，3），b=（-1，2）.（1）求a与b的夹角θ的余弦值.（2）若向量a-λb与2a+b垂直，求λ的值.解：（1）a·b=4×(-1)+3×2=2,又∵|a|==5,|b|=,∴cosθ=.(2)a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8).∵(a-λb)⊥(2a+b)∴(a-λb)·（2a+b）=0.∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0.∴λ=.拓展探究16.已知平面内两向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且0＜α＜β＜π.（1）证明：(a+b)⊥(a-b);(2)若两个向量ka+b与a-kb的模相等（k≠0），求证：a⊥b.证明：（1）a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),∴a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ).∴(a+b)·(a-b)=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=1-1=0.∴(a+b)⊥(a-b).（2）∵(ka+b)2=|ka+b|2=k2a2+2ka·b+b2,|a-kb|2=a2-2ka·b+k2b2,又|ka+b|=|a-kb|,∴k2a2+2ka·b+b2=a2-2ka·b+k2b2,(k2-1)a2+4ka·b+(1-k2)b2=0.又|a|=|b|=1,∴4ka·b=0.∵k≠0,∴a·b=0,∴a⊥b.
