高中数学第2章平面向量2.4向量的数量积达标训练苏教版必修4基础·巩固1.已知a=(3,2),b=(2,-3),则向量a与b的夹角为()A.B.C.D.思路解析:由a·b=3×2+2×(-3)=0,∴a⊥b.∴两向量夹角为.也可通过画简图帮助分析.答案:D2.若向量a与b的夹角为120°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为()A.2B.4C.6D.12思路解析:将(a+2b)·(a-3b)=-72展开,即a2+2a·b-3a·b-6b2=-72.∴|a|2-a·b-6|b|2+72=0,即|a|2-|a||b|cos120°-24=0.∴|a|2+2|a|-24=0,解得|a|=4或|a|=-6(舍去).故|a|=4.答案:B3.已知平面向量a=(4,2),b=(x,-4),且a⊥b,则x等于()A.2B.1C.-1D.-2思路解析:4x+2×(-4)=0得x=2.答案:A4.已知a=(1,1),b=(1,0)且ka+b恰好与b垂直,则实数k的值是()A.1B.-1C.1或-1D.以上都不对思路解析:ka+b=k(1,1)+(1,0)=(1+k,k), ka+b与b垂直,∴(ka+b)·b=0,即(1+k,k)·(1,0)=0.∴(1+k)×1+k×0=0得k=-1.答案:B5.已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是()A.B.C.D.思路解析:设a与b的夹角是α, (a-2b)⊥a,∴(a-2b)·a=0,即|a|2-2a·b=0.①又 (b-2a)⊥b,∴(b-2a)·b=0,即|b|2-2a·b=0.②由①②知|a|=|b|,a·b=|a|2=|b|2,∴cosα==.∴a与b的夹角为.答案:B6.已知平面上三点A、B、C满足||=6,||=8,||=10,则···的值等于___________________________.思路解析: ||2+||2=||2,∴∠B=90°cos∠ABC=0,cos∠BAC=,cos∠BCA=.∴原式=6×8×0+8×10×(-)+6×10×(-)=-100.答案:-1007.设a、b、c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,下列命题:①(a·b)·c-(c·a)·b=0;②|a|-|b|＜|a-b|;③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有____________.思路解析:①错误,因向量的数量积不满足结合律.③错误,因［(b·c)·a-(c·a)·b］·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,则(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直.②④都是正确的.答案:②④8.已知|a|=5,b=(-4,3),且a⊥b,则a的坐标为_________________________.思路解析:设a的坐标为(x,y),由已知则有解得或答案:(3,4)或(-3,-4)9.已知|a|=8,|b|=10,当(1)a∥b,(2)a⊥b,(3)a与b的夹角为60°时,分别求a与b的数量积.思路分析:利用向量数量积的定义求解,求解时应注意两向量平行时需分两类.解:(1)a∥b,若a与b同向,则θ=0°,∴a·b=|a||b|cos0°=8×10=80.若a与b反向,则θ=180°,∴a·b=|a||b|cos180°=8×10×(-1)=-80.(2)当a⊥b时,θ=90°,a·b=|a||b|cos90°=0.(3)当a与b的夹角为60°时,a·b=|a||b|cos60°=8×10×=40.10.已知向量a=(3,4),b=(4,3),试确定能使(xa+yb)⊥a且|xa+yb|=1成立的x、y的值.思路分析:本题利用向量的模、垂直的坐标表示等基础知识.解题时由已知条件建方程组解之即可.解:由于a=(3,4),b=(4,3),所以xa+yb=x(3,4)+y(4,3)=(3x+4y,4x+3y).因为(xa+yb)⊥a且|xa+yb|=1,所以有解得或综合·应用11.若O为△ABC所在平面内一点,且满足()·()=0,则△ABC的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.A、B、C均不是思路解析:由()·()=0,得·()=0,又 ,∴()·()=0,即||2-||2=0.∴||=||.∴△ABC为等腰三角形.答案:C12.已知点A(1,0)、B(5,-2)、C(8,4)、D(4,6),则四边形是()A.正方形B.菱形C.梯形D.矩形思路解析:如右图,=(4,-2),=(4,-2),∴.∴四边形ABCD为平行四边形.又·=(4,-2)·(3,6)=4×3+(-2)×6=0,∴⊥.又||≠||,∴四边形为矩形.答案:D13.已知a=(λ,3),b=(-3,5)且a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是()A.λ＞5B.λ≥5C.λ＜5D.λ≤5思路解析:设两向量的夹角为θ,由已知可得-1＜cosθ=＜0,经验证A项正确.答案:A14.点A(3,0)、B(-2,0),动点P(x,y)满足·=x2,则点P的轨迹方程是_________________.思路解析: =(3-x,-y),=(-2-x,-y).∴(3-x)(-2-x)+(-y)(-y)=x2.∴y2=x+6.答案:y2=x+615.已知a、b为非零向量,当t=________________时,a+tb(t∈R)的模取最小值.思路解析:由|a+tb|2=t2|b|2+2ta·b+|a|2是关于t的二次式,∴当t=-时,即t=-.答案:-16.i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量,且=4i+2j,=3i+4j,证明△ABC是直角三角形,并求它的面积.思路分析:利用向量数量积的坐标运算及垂直的坐标条件.证明:=(4,2),=(3,4),则=(3-4,4-2)=(...
