高中数学第2章平面向量2.4向量的数量积第二课时成长训练苏教版必修4夯基达标1.在△ABC中，若=a,=b,=c,且a·b=b·c=c·a，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.以上三项均不正确解析：a·b=b·c可得b（a-c）=·（）=0，即AC垂直于对应中线，同理可得△ABC三边分别对应垂直于其边上的中线，故△ABC为等边三角形.答案：C2.已知a，b，c为任意向量，m∈R,则下列等式不一定成立的是（）A.（a+b）+c=a+(b+c)B.(a+b)·c=a·c+b·cC.m(a+b)=ma+mbD.(a·b)·c=a·（b·c)解析：D项式中，a·b，b·c是数量，而a，c方向也未必一致.所以不一定成立，即向量数量积不满足结合律.答案：D3.向量a，b满足（a-b）·（2a+b）=-4，且|a|=2，|b|=4，则a与b夹角的余弦值等于____________.解析：（a-b）（2a+b）=2a2-b2-a·b=2×22-42-2×4cos〈a,b〉=-4.解得cos〈a,b〉=.答案：4.已知向量a=（1，1），b=（2，-3），若ka-2b与a垂直，则数k等于_______________.解析：因（ka-2b）⊥a,∴(ka-2b)·a=ka2-2a·b=0，即2k-2(2-3)=0,得k=-1.答案：-15.若非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|，则a与b所成角的大小为_______________.解析：由|a+b|=|a-b|,得（a+b）2=(a-b)2,即a·b=0,∴a⊥b,于是〈a,b〉=90°.答案：90°6.已知a·b=，|a|=4，a与b的夹角为135°,则|b|=_______________.解析：a·b=|a||b|cos〈a,b〉=4|b|cos135°=-122,解得|b|=6.答案：67.若向量满足a+b+c=0,且|a|=3，|b|=1，|c|=4,则a·b+b·c+c·a=_______________.解析：由a+b+c=0,得c=-a-b,∴a·b+b·c+c·a=a·b+b·c+(-a-b)·a=b·c-a2=-9=|b|·|c|·cos(π-C)-9=-1×4·=4.答案：48.已知|a|=1，|b|=，（1）若〈a,b〉=，求|a+b|；（2）若a与a-b垂直，求a与b的夹角.解：(1)|a+b|==.(2)由a（a-b）=0,得a2=a·b=|a||b|cos〈a,b〉,∴cos〈a,b〉=,∴〈a,b〉=.9.已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：（a-b）⊥c；(2)若|ka+b+c|＞1(k∈R),求k的取值范围.解：(1)(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°=cos120°-cos120°=0,∴(a-b)⊥c.(2)|ka+b+c|===|k-1|，解|k-1|＜1,得k＜2或k＜0.∴k的取值范围是k＜2或k＜0.走近高考10.(2005全国高考Ⅰ)点O是△ABC所在平面内的一点.满足·=·=·，则点O是△ABC的（）A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点解析：由·=·，得·（-）=·=0.∴⊥，同理⊥，⊥，故O是高的交点.答案：D11.(2005天津高考)已知|a|=2，|b|=4，a与b的夹角为,以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度是______________.解析：由题知较短的为|a-b|,∴|a-b|=.答案：
