2.4向量的数量积5分钟训练（预习类训练,可用于课前）1.判断正误，并简要说明理由.①a·0=0；②0·a=0；③0-=；④|a·b|=|a||b|；⑤若a≠0，则对任一非零向量b有a·b≠0；⑥a·b=0，则a与b中至少有一个为0；⑦a与b是两个单位向量，则a2=b2.解:上述7个命题中只有③⑦正确:对于①:两个向量的数量积是一个实数，应有0·a=0；对于②:应有0·a=0；对于④:由数量积定义，有|a·b|=|a||b|·|cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a·b|=|a||b|；对于⑤:若非零向量a、b垂直，有a·b=0；对于⑥:由a·b=0可知a⊥b，可以都非零.2.(湖北)已知a、b、c为非零的平面向量.甲:a·b＝a·c;乙:b＝c，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件思路解析:b=c,两边同乘以不为0的向量a,则有a·b=a·c.由a·b=a·c,可得a·(b-c).说明b=c或者是向量a垂直于向量b-c.答案:B10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.(重庆)设向量a=(-1，2)，b=(2，-1)，则(a·b)(a+b)等于()A.(1，1)B.(-4，-4)C.-4D.(-2，-2)思路解析:(a·b)(a+b)=〔-1·2+2·(-1)〕(-1+2,2-1)=-4(1,1)=(-4，-4).答案:B2.(江西)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(a+b)·c=,则a与c的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°思路解析:本题考查平面向量的运算及向量的夹角公式.设a、b的夹角为θ,则cosθ=,θ∈［0,π］.(1)当θ为锐角,有a·b>0且a·b≠1.(2)当θ为钝角,有a·b<0且a·b≠-1.(3)当θ=0,a、b共线且方向相同.(4)当θ=时,a·b=0.设c=(x,y)，则(a+b)·c=(-1,-2)·(x,y)=-x-2y=，又|c|=,所以a·c=x+2y=|a|·|c|·cosα，得cosα=-，α=120°，选C.答案:C3.已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|等于()A.B.C.D.4思路解析:|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6ab+9b2=|a|2+6|a||b|cos60°+9|b|2=13.∴|a+3b|=.答案:C4.已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是()A.B.C.D.思路解析:由(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,∴(a-2b)·a=0，(b-2a)·b=0.a2=2ab,b2=2ab.∴2|a||b|cosθ=|a|2且|a|2=|b|2.∴cosθ=.∴θ=.答案:B5.给出下列命题:①在△ABC中，若·<0，则△ABC是锐角三角形；②在△ABC中，若·>0，则△ABC是钝角三角形；③△ABC是直角三角形·=0；④△ABC是斜三角形的必要不充分条件是·≠0.其中，正确命题的序号是_____________.思路解析:利用数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角.① ·<0，∴·=-·>0，∴∠B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.∴推不出△ABC是锐角三角形.故命题①是假命题.② ·>0，∴·=-·<0.∠A是钝角，因而△ABC是钝角三角形.故命题②是真命题.③△ABC是直角三角形，其直角可以是∠A，也可以是∠B、∠C,因·=0仅能保证∠B是直角,故命题③是假命题.④一方面，当△ABC是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故·≠0；另一方面，由·≠0只能得出∠B不是直角，但∠A或∠C中可能有一个直角.故命题④是真命题.答案:②④6.(2005福建)在△ABC中，∠A=90°，=(k,1),=(2,3),则k的值是______.思路解析:∠A=90°，所以⊥,k·2+1·3=0.答案:-7.平面向量a、b中，已知a＝(4，-3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝__________.思路解析:设向量b=(x,y).a·b=(4,-3)(x,y)=4x-3y=5,①又|b|=1，所以=1.②由①②得x=,y=-.答案:(,-)8.在直角坐标系xOy中，已知点P(2cosx+1，2cos2x+2)和点Q(cosx，-1)，其中x∈[0，π].若向量与垂直，求x的值.解:由⊥，得cosx(2cosx+1)-(2cos2x+2)=0，利用cos2x=2cos2x-1，化简后得2cos2x-cosx=0，于是cosx=0或cosx=， x∈［0,π］，∴x=或.志鸿教育乐园童言童语一年级的老师教小朋友认识家禽动物。老师：“有一种动物两只脚，每天早上太阳公公出来时，它都会叫你起床，而且叫到你起床为止，是哪一种动物？”小朋友：“妈妈！”30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.已知向量a、b，a·b=-40，|a|=10，|b|=8，则向量a、b的夹角为()A.60°B.-60°C.120°D.-120°思路解析:根据公式a·b=|a||b|cosθ，得cosθ=，由此可求两向量的夹角为120°.答案:C2.若e1、e2是...
