2.2.3向量的数乘[学生用书P105(单独成册)])[A基础达标]设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是()A．a与－λa的方向相反B．|－λa|≥|a|C．a与λ2a的方向相同D．|－λa|＝|λ|a解析：选C．当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选C．2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为()A．－1或3B．C．－1或4D．3或4解析：选A．因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0，则()A．AO＝2ODB．AO＝ODC．AO＝3ODD．2AO＝OD解析：选B．因为D为BC的中点，所以OB＋OC＝2OD，所以2OA＋2OD＝0，所以OA＝－OD，所以AO＝OD.4．设a，b不共线，AB＝a＋kb，AC＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有()A．k＝mB．km－1＝0C．km＋1＝0D．k＋m＝0解析：选B．若A，B，C三点共线，则AB与AC共线，所以存在唯一实数λ，使AB＝λAC，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，所以所以km＝1，即km－1＝0.5．在△ABC中，若AB＋AC＝2AP，则PB等于()A．－AB＋ACB．AB－ACC．AB－ACD．－AB＋AC解析：选C．由AB＋AC＝2AP得AP＝(AB＋AC)，所以PB＝PA＋AB＝－(AB＋AC)＋AB＝AB－AC.6．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为__________．解析：由原式可得解得所以x－y＝3.答案：37．设a，b是两个不共线的非零向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k＜0)．答案：－48．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若AC＝mAB＋nAD(m，n∈R)，则m－n＝________．解析：直接利用向量共线定理，得BC＝3DC，则AC＝AB＋BC＝AB＋3DC＝AB＋3(AC－AD)＝AB＋3AC－3AD，AC＝－AB＋AD，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.答案：－29．(1)已知3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中a，b为已知向量)，求x；(2)已知其中a，b为已知向量，求x，y.解：(1)原方程化为3x＋3a＋3x－6a－4x＋4a－4b＝0.得2x＋a－4b＝0，即2x＝4b－a.所以x＝2b－a.(2)由②得y＝x－b，代入①，得3x＋4＝a.所以3x＋x－b－a＝0，17x＝4b＋3a.所以x＝a＋b.所以y＝－b＝a＋b－b＝a－b.综上可得10．已知O，A，M，B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ)OA(λ∈R，λ≠1，λ≠0)．(1)求证：A，B，M三点共线．(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．解：(1)证明：因为OM＝λOB＋(1－λ)OA，所以OM＝λOB＋OA－λOA，OM－OA＝λOB－λOA，即AM＝λAB，又λ∈R，λ≠1，λ≠0且AM，AB有公共点A，所以A，B，M三点共线．(2)由第一问知AM＝λAB，若点B在线段AM上，则AM，AB同向且|AM|>|AB|(如图所示)，所以λ>1.[B能力提升]1．已知O是△ABC内的一点，且OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的________．解析：OA＋OB是以OA、OB为邻边作平行四边形的对角线，且过AB的中点，设中点为D，则OA＋OB＝2OD，所以2OD＋OC＝0，同理设E、F为AC，BC中点，则满足条件的点O为△ABC三边中线的交点，故为重心．答案：重心已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝________．解析：由MA＋MB＋MC＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则AM＝AD＝×(AB＋AC)＝(AB＋AC)，所以有AB＋AC＝3AM，故m＝3.答案：3证明：若向量OA、OB、OC的终点A、B、C共线，则存在实数λ、μ，且λ＋μ＝1，使得：OC＝λOA＋μOB；反之，也成立．证明：①如图所示，若OA、OB、OC的终点A、B、C共线，则AB∥BC，故存在实数m，使得BC＝mAB，又BC＝OC－OB，AB＝OB－OA，所以OC－OB＝m(OB－OA)，即OC＝－mOA＋(1＋m)OB.令λ＝－m，μ＝1＋m，则存在实数λ、μ且λ＋μ＝1，使得OC＝λOA＋μOB.②若OC＝λOA＋μOB，其中λ，μ∈R且...
