课时作业48事件的相互独立性知识点一事件独立性的判定1.袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，则A1与A2是()A．相互独立事件B．不相互独立事件C．互斥事件D．对立事件答案A解析根据相互独立事件的概念可知，A1与A2相互独立，故A1与A2也相互独立．2．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．解(1)有两个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间为Ω1＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，共包含4个样本点，由等可能性知每个样本点发生的概率均为.这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间为Ω2＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，共包含8个样本点，由等可能性知每个样本点发生的概率均为.这时A包含6个样本点，B包含4个样本点，AB包含3个样本点．于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然有P(AB)＝P(A)P(B)成立．从而事件A与B是相互独立的.知识点二相互独立事件同时发生的概率3.如图所示，在两个转盘中，指针落在转盘每个数所在区域的机会均等(不考虑指针落在分界线上的情况)，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.B.C.D.答案A解析 左边转盘指针落在奇数区域的概率为，右边转盘指针落在奇数区域的概率为，∴两个转盘指针同时落在奇数区域的概率为×＝.4．三人破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________．答案解析用A，B，C分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，且P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.∴此密码被破译的概率为1－＝.知识点三相互独立事件的综合应用5.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．解(1)记事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”．依题意知，事件A和事件B相互独立，因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.(2)记事件Ai表示“甲第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C，则C＝A1A2A3A4∪A1A2A3A4，且A1A2A3A4与A1A2A3A4是互斥事件．由于A1，A2，A3，A4之间相互独立，所以Ai与Aj(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立．由于P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，故P(C)＝P(A1A2A3A4∪A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝3×＋×3＝.所以甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率为.(3)记事件Bi表示“乙第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”，则D＝B1B2B3B4∪B1B2B3B4，且B1B2B3B4与B1B2B3B4是互斥事件．由于B1，B2，B3，B4之间相互独立，所以Bi与Bj(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立．由于P(Bi)＝(i＝1,2,3,4)，P(Bi)＝(i＝1,2,3,4)，故P(D)＝P(B1B2B3B4∪B1B2B3B4)＝P(B1B2B3B4)＋P(B1B2B3B4)＝P(B1)P(B2)P(B3)P(B4)＋P(B1)P(B2)P(B3)P(B4)＝2×2＋×3＝.所以乙恰好射击4次后被终止射击的概率为.易错点不能正确理解独立事件发生的概率致误6.设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是，求事件A和事件B同时发生的概率．易错分析在相互独立事件A和B中，只有A发生，即事件AB发生；只有B发生，即事件AB发生．解决此类问题时，往往会误认为P(A)＝P(B)＝，...
