第一章§1集合的含义与表示一、选择题1．下列对象能构成集合的是()A．江西某中学所有有爱心的女生B．青岛某中学部分特长生C．中国的著名歌唱家D．大于π的自然数[答案]D[解析]A中“有爱心”的标准不明确，B中“部分”不明确，C中“著名歌唱家”的标准不明确，D中π≈3.14，所以大于π的自然数为4,5,6，….2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是()A.∈MB．0∉MC．1∈MD．－∈M[答案]D[解析]>1，故A错；－2<0<1，故B错；1不小于1，故C错；－2<－<1，故D正确．3．由x2，x组成一个集合A，A中含有2个元素，则实数x的取值可以是()A．0B．－1C．1D．－1或1[答案]B[解析]验证法：若x＝0时，x2＝0，不合题意；若x＝1时，x2＝1，不合题意；若x＝－1时，x2＝1，符合题意，故选B.4．给出下列语句：①N中最小的元素是1；②若a∈N，则－a∉N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2；④0∈∅.其中正确语句的个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]A[解析]自然数集中最小的元素是0，故①③不正确；对于②，若a∈N，即a是自然数，当a＝0时，－a仍为自然数，所以②也不正确；空集不含有任何元素，所以④不正确．故选A.5．若集合{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是()A．锐角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．直角三角形[答案]B[解析]根据集合中元素的互异性，可知三角形的三边长不相等，故选B.6．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()A．4B．2C．0D．0或4[答案]A[解析]本题考查分类讨论思想及一元二次方程问题．若a＝0，则有1＝0显然不成立；若a≠0，则有a2－4a＝0即a＝0或a＝4，所以a＝4.二、填空题7．用符号“∈”或“∉”填空：(1)________R;(2)________Q；(3)2________N＋；(4)0.3________Z.[答案](1)∈(2)∈(3)∈(4)∉[解析](1) 是实数，∴∈R；(2) 是有理数，∴∈Q；(3) N＋是正整数集，∴2∈N＋；(4) 0.3是小数，∴0.3∉Z.8．集合{x∈Z|(x－1)2(x＋1)＝0}用列举法可以表示为________．[答案]{－1,1}[解析] 方程(x－1)2(x＋1)＝0的解有三个：－1,1,1，而作为解集，集合中元素只能是－1,1.三、解答题9．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.[解析]当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，解得x＝2.此时集合A＝{2}．当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．10．设A＝{2,3，a2＋2a－3}，B＝{|a＋3|,2}，已知5∈A，且5∉B，求a的值．[解析] 5∈A，∴a2＋2a－3＝5.∴a＝2或a＝－4.又 5∉B，∴|a＋3|≠5.∴a≠2且a≠－8.∴a＝－4.一、选择题1．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A．1B．－2C．6D．2[答案]C[解析]解法1：验证法：若a＝1时，a2＝1,2－a＝1，不满足集合中元素的互异性；若a＝－2或2时，a2＝4，也不满足集合中元素的互异性，故a＝6，选C.解法2：直接法：由集合中元素的互异性可知，a2≠4，∴a≠±2.又a2≠2－a，∴a2＋a－2≠0，∴a≠1且a≠－2，故选C.2．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9[答案]C[解析] x∈A，y∈A，当x＝0时，由y＝0,1,2得，x－y＝0，－1，－2；当x＝1时，由y＝0,1,2得，x－y＝1,0，－1；当x＝2时，由y＝0,1,2得，x－y＝2,1,0.由集合中元素的互异性可知，B＝{－2，－1,0,1,2}中共5个元素．二、填空题3．集合{，，，，}可用特征性质描述法表示为________．[答案]{x|x＝，n∈N＋，n≤5}[解析]将分母改写为连续自然数，考虑分子与分母间的关系.、、、、，可得，n∈N＋，n≤5.4．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．[答案]2[解析] －5是方程x2－ax－5＝0的根，∴25＋5a－5＝0，∴a＝－4，∴x2－4x－a＝x2－4x＋4＝0，∴x＝2，∴该集合中所有元素之和为2.三、解答题5．用另一种方法表示下列集合．(1){－3，－1,1,3,5}；(2){x||x|≤3，x∈Z}；(3){1,22,32,42，…}；(4)已知...
