直角三角形性质和判定——勾股定理VIP免费

直角三角形本章内容第1章直角三角形的性质和判定（Ⅱ）本课内容本节内容1.2做一做如图1-9，在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都在格点上的直角三角形，使其两直角边分别为3，4，量出这个直角三角形斜边的长度.AABBCCa=3a=3b=4b=4c=?c=?量得c=5.量得c=5.图1-9图1-9在方格纸上，以类似图1-9中的Rt△ABC的三边为边长分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图1-10-1，并填表.说一说为了求S3，可以先算出红色区域内大正方形的面积，再减去4个小三角形的面积.为了求S3，可以先算出红色区域内大正方形的面积，再减去4个小三角形的面积.S2S3S1图1-10-1S1S2S3图1-10-1145145S1S2S3图1-10-1145图1-10-2图1-10-2S2S1S39162591625S1S2S3S2S2S3图1-10-3观察表格,三个正方形的面积S1、S2、S3之间有怎样的数量关系呢？S1S2S3图1-10-1145图1-10-291625图1-10-3S1S1+S2=S3.S1+S2=S3.9253492534在图1-10中，S1+S2=S3，即BC2+AC2=AB2，那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？图1-10S2S1S3AACCBB探究如图1-11，任作一个Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a2+b2=c2是否成立呢？ABC图1-11acb步骤１先剪出4个如图1-11所示的直角三角形，由于每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中b>a），于是它们全等（SAS），从而它们的斜边长相等.设斜边长为c.步骤2再剪出1个边长为c的正方形，如图1-12所示.图1-12图1-12步骤3把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图1-13的图形.4S=S+S大正小正直221(+)=+42bacabccaabbab222a+b=c思考：如何说明拼出的图形是正方形？图1-13图1-13结论直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2勾股定理的证法历史上有很多,比较著名的有毕达哥拉斯证法,有趣的总统证法(美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法),希望有兴趣的同学课下查找资料.其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦（如图1-14），因此这一性质被称为勾股定理.图1-14小知识勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长，我们可以根据勾股定理求出第三边的长.例1如图1-15，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC于点D.你能算出BC边上的高AD的长吗？ABC图1-15D分析要求AD的长，要把AD放在直角三角形中，通过勾股定理计算出.举例解：在△ABC中， AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，∴1=52BDBC=.在Rt△ADB中，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2,∴故AD的长为12cm.2222=-=13-5=188=12.ADABBDABC图1-15D在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）已知a=25，b=15，求c；练习（2）已知a=5，c=9，求b；（2）已知a=5，c=9，求b；（3）已知b=5，c=15，求a.（3）已知b=5，c=15，求a.2222=+=25+15=625225=534.cab2222==9-5=144=214.bc-a2222==15-5=2010=102.ac-b如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC靠在墙上，使梯脚C离墙脚B的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C′处.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？动脑筋图1-16由图1-16抽象出示意图1-17.在Rt△ABC中，计算出AB；再在Rt△A’BC’中，计算出A’B，则可得出梯子往上移动的距离为（A’B-AB）m.由图1-16抽象出示意图1-17.在Rt△ABC中，计算出AB；再在Rt△A’BC’中，计算出A’B，则可得出梯子往上移动的距离为（A’B-AB）m.图1-17图1-17A’A’BBCCC’C’梯子梯子墙面墙面地面地面分析AA在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，由勾股定理得，在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，由勾股定理得，在Rt△A’BC’中，A’C’=4m，BC’=1m，故在Rt△A’BC’中，A’C’=4m，BC’=1m，故因此A’A=3.87-3.71=0.16（m）.即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m.因此A’A=3.87-3.71=0.16（m）.即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动...