金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com类比余弦定理解题数学解题，关键在于转化．构造几何模型，化数为形，以形的直观性使问题解决，就是一种重要的转化方法．下面例析将问题转化为三角形问题，再利用余弦定理来解决．一、三角求值例1求的值.分析：原式可化为.从形式上看,酷似余弦定理公式，从角度分析第三角是特殊角.因此,可以构造三角形利用正、余弦定理求解.解：原式可化为.构造.由正、余弦定理可得:.把A、B、C的值分别代入上式,即得:=.=.评注：更一般地，在△ABC中，有sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA．二、解方程组例2已知x，y、z为正数，且满足方程组，试求z的值．分析：由于方程组中每条方程的结构类似余弦定理，故可构造三角形来解决．解：原方程组可化为以上第二、三式结构类似余弦定理，且右边常数有72＋242＝252的特征，于是可构造Rt△ABC，使∠C＝90°，AC＝7，BC＝24，则AB＝25．在Rt△ABC斜边AB上取一点D，使∠ADC＝60°，∠BDC＝120°，则AD＝y，CD＝z，BD＝x，(如图1)．∵．∴yzsin60°＋zxsin120°＝•7•24，即z(x＋y)＝112．得z＝．评注：由于所求的值几何意义恰是面积，于是利用面积和整体来解决．三、证明不等式例3试证：对任何正实数a，b，c，都有，当时，等号成立．第1页共2页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.comABCD60120zxy金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com分析：由三个被开方式，如a2＋b2－ab与余弦定理为类似，变形得＝，表示以a，b为边，夹角为60°的三角形的另一边长，于是可构造三角形来解题．解：由表达式的结构形式，可构造如图2所示的几何图形，使AB＝a，BD＝b，BC＝c，∠ABD＝∠CBD＝60°，由余弦定理得AD＝＝．同理，CD＝，CA＝．因为AD＋DC≥AC，所以原不等式成立．当A，D，C三点共线时，等号成立．此时，，即acsin120°＝absin60°＋bcsin60°．整理，得，以上步步可逆，命题得证．评注：对于形如“a2＋b2＋kab＝c2(a，b，c＞0，|k|＜2)”的结构，这时可类比余弦定理，进行几何代换，从而把代数问题转化为三角形问题来解决．第2页共2页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com
