初三数学巧解代数问题指导VIP免费

[在此处键入]初三数学巧解代数问题三角变换在数学中属于工具性的内容，通过三角代换把代数问题转化为三角问题，不仅可使题中各量之间的关系变得直接明了、结构特征显现，而且代数中原来繁琐、复杂的运算变成了简单、灵活多变的三角运算，因此在解代数问题时，要关于捕捉已知条件或结论中体现出的三角函数的各种信息，选取适当的三角代换，从而将代数问题转化为三角问题。1.捕捉“xya222”的信息例1.解不等式3112xx。分析：由于()()31422xx，于是令，则原不等式化为2212sincos，所以：两边平方并整理得3282coscos15<0，解得。由x412cos可得，，故原不等式的解集是。例2.给定正整数n和正数m，对于满足条件aamn1221的所有等差数列aaaSaaannn1231221，，，…，试求…的最大值。分析：由aamararrmnn1212110，可设，，cossin，则由aanddrrnn11，得sincos.于是其中。当且仅当sin()=1，且rm时等式成立。[在此处键入]这时时，2.捕捉“||xx112或”的信息例3.设012||*xnnN，，，求证：()().112xxnnn分析：由于0112121||xxx且，可设xcos202，，且4，则()()(sin)(cos)(sin)(cos)(sincos).1122222222222xxnnnnnnnnn例4.已知a、b为非负数，且1122baab，求证abba1122=1.分析：111122abab、有意义，暗示，，||||故可设asin，bsin，、，。02由已知条件可得，coscossinsin，即cos()02，所以，abba11122sincoscossinsin().3.捕捉“12a”的信息例5.数列an满足aaanNnn011312，()*，求证an是单调数列。分析：由于aann121与余弦函数的半角公式的结构完全一致，故可设a01302cos，，。，所以=cos2，[在此处键入]aannnnnn211420224222242coscoscoscoscoscoscos.，…，，且…，…即。故数列an是单调数列。4.捕捉“x21”的信息例6.解不等式分析：考虑到关键是去根号，联想到公式122tansec，设xtan，，则原不等式可化为sincos20即(sin)(sin)2110，解得，原不等式的解为。5.捕捉“xyxy1”的信息例7.数列aaaaannnnn中，，1113112()，求an。分析：由aaannn1111联想到tantantan411，由此可令a122tan，且，则[在此处键入]证明略。故所求通项公式为6.捕捉“2111222xxxx和”的信息例8.解方程组()()*121221xxxknnNkkk，，…，，且xxn11。分析：若把原式变形为xxxkkk1221，则可发现它与正切函数的倍角公式结构一致，因此可令xxknnkk2212122121tantantantan()，，…，，因为xxmmZnnn1122，所以，tantan()，()mZ.于是原方程组的解为xmmZknkkntan().2211211，，，…，例9.求fxxxxxxx()12122344的值域。分析：将fx()的表达式裂项变形得，由此联想到万能公式，由xR，令xytansincossin(()).22221214171622，则，当，即时，；sinmax144151716xy当sinmin1112，即时，xy。[在此处键入]故fx()的值域是7.捕捉“xyzxyz”的信息例10.已知xyzR、、，求证：分析：由等式的结构联想到△ABC中有tantantantantantanABCABC。由此可设xyztantantan，，，则由于tan()tan()tan()tan()tan()tan()原式成立。8.捕捉“ab221”的信息例11.已知xyxyx22241，求的取值范围。分析：由已知条件xy224联想到公式122tansec，即sectan.221由此可令xykkZ222sectan()，，，则1141425421112222xyxkkZxyxcossin(sin)().，，所以