第2节　直接证明与间接证明VIP免费

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目录CONTENTS第2节直接证明与间接证明01020304考点三考点一考点二例1训练1综合法的应用分析法的应用反证法的应用诊断自测例2训练2例3训练31．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(2)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“ann＋1考点一综合法的应用(1)证明 an＋1＝an2an＋1，∴1an＋1＝2an＋1an，化简得1an＋1＝2＋1an，即1an＋1－1an＝2，故数列1an是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)解由(1)知1an＝2n－1，∴Sn＝n（1＋2n－1）2＝n2.法一1S1＋1S2＋…＋1Sn＝112＋122＋…＋1n2>11×2＋12×3＋…＋1n（n＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1适当放缩，1、便于求和；2、不要放缩过头。[例1]数列{an}满足an＋1＝an2an＋1，a1＝1.(1)证明：数列1an是等差数列；(2)(一题多解)求数列1an的前n项和Sn，并证明1S1＋1S2＋…＋1Sn>nn＋1考点一综合法的应用＝1－1n＋1＝nn＋1.法二1S1＋1S2＋…＋1Sn＝112＋122＋…＋1n2>1，又 1>nn＋1，∴1S1＋1S2＋…＋1Sn>nn＋1.观察要证不等式两端特点，寻找一个特殊值，做放缩的中间桥梁，有时将事半功倍。考点一综合法的应用1.综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．2．综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．[训练1](2018·东北三省三校调研)已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：(1)a＋b＋c≤3；(2)13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥32.考点一综合法的应用证明(1) (a＋b＋c)2＝(a＋b＋c)＋2ab＋2bc＋2ca≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，∴a＋b＋c≤3.为便于利用条件，尝试平方由积向和放缩(2) a＞0，∴3a＋1＞0，∴43a＋1＋(3a＋1)≥243a＋1（3a＋1）＝4，∴43a＋1≥3－3a，同理得43b＋1≥3－3b，43c＋1≥3－3c，当且仅当43a＋1＝3a＋1，即a＝13时取“＝”.为保证三式能同时取等号[训练1](2018·东北三省三校调研)已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：(1)a＋b＋c≤3；(2)13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥32.考点一综合法的应用为便于利用条件，尝试平方以上三式相加得413a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥9－3(a＋b＋c)＝6，∴13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥32.当且仅当a＝b＝c＝13时取“＝”．考点二分析法的应用[例2]已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0. a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.分析法是由结论推条件，或由结论和条件一起推出显然成立的结论。且注意要一定保证步步可逆考点二分析法的应用1.逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．2．证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．考点二分析法的应用[训练2]已知a>5，求证：a－5－a－3

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