第12讲幂函数-人教A版高中数学必修一讲义（解析版）VIP专享VIP免费

知识点1幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点2幂函数的图象和性质(1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}第十二讲幂函数知识通关教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.幂函数的概念数学抽象水平1水平11.了解幂函数的定义，能区别幂函数与指数函数。2.能够运用幂函数的简单性质进行实数大小比较。3.通过作出一些简单幂函数的图像，能根据图像描述出这些简单幂函数的基本性质。【考查内容】幂函数的图像与性质、指数幂的大小比较。【考查题型】选择题、填空题、解答题【分值情况】选择、填空题5分，解答题4分2.幂函数的图像与性质直观想象水平1水平23.幂指数对图像的影响数学运算水平1水平14.幂函数的凸凹性数学运算水平1水平1奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，减增增x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减公共点都经过点(1,1)题型一幂函数的概念规律方法判断函数为幂函数的方法例1、(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.解析：(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B．(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.答案(1)B(2)5或－1【变式训练1】（1）幂函数的图像过点，则A.8B.6C.4D.2（2）设，则使函数的定义域为R且函数为奇函数的所有的值为（）A.B.C.1,3D.(1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．解析：（1）设幂函数，由函数的图像过点，可得，∴，则幂函数，∴，故选C（2）是常见的5个幂函数，显然当为奇函数时，的值为，又函数的定义域为R，∴，故的值为1,3。故选C。答案（1）C（2）C题型二幂函数的图象及应用规律方法解决幂函数图象问题应把握的两个原则例2、(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为()A．－2，－，，2B．2，，－，－2C．－，－2,2，D．2，，－2，－(2)点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，分别有：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B．(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①幂函数图像在定义域(0,1)上的部分，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②幂函数图像在定义域(1，＋∞)上的部分，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或或y＝x3)来判断．（当时，在第一象限内为双曲线型；当时，在第一象限内为抛物线型，且开口向右；当时，在第一象（2）设f(x)＝xα，g(x)＝xβ. ()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；②当x＝1时，f(x)＝g(x)；③当x(0,1)∈时，f(x)1C．m是偶数，n是奇数，且<1D．m是奇数，n是偶数，且>1解析：由图象可知y＝x是偶函数，而m，n是互质的，故m是偶数，n是奇数，又当x∈(1，＋∞)时，的图象在y＝x的图象下方，故<1.答案C题型三利用幂函数的性质比较大小规律方法比较幂值大小的三种基本方法例3、比较下列各组数中两...