1I.|MF|=a+m,|MF|=a—m；I0sin^cos^2+=1.e2e21椭圆双曲线共焦点问题x2y2x2y2已知椭圆Ci：a2+b；=1（其中a>b>°）与双曲线q：mrn;=i（其中m>°，n>°）共焦点，*e2分别为Ci，c2的离心率，M是Jc2的一个交点，山“严2,则【技巧】结论I的推导是用椭圆与双曲线的定义，然后两式相加，相减.凡是已知公共焦点三角形中的一边（焦半径）或三边的比例关系（可取特值，特别是在直角三角形中），然后使用结论I：|MFj=a+m,|MFj=a—m,找到a,m，c的关系，从而解决问题.可免去用椭圆与双曲线的定义，节省时间.关于结论I的记忆是长边加，短边减，椭圆的长半轴在前，双曲线的实半轴在后.结论II的推导是先用椭圆与双曲线的定义，然后用余弦定理,或用焦点三角形的面积相等.凡00sin^2cos^2是已知公共焦点三角形中的顶角，然后使用结论II：=^+-^=1,可快速到e2,e2的关e2e21212系，从而解决问题.如果求最值注意基本不等式的使用，如不能用基本不等式可利用三角换元转化为三角函数的最值或用柯西不等式.关于结论II的记忆类比平方关系，在正弦，余弦下分别加上椭圆与双曲线的离心率的平方.1、椭圆与双曲线有公共焦点匚,它们在第一象限的交点为A,且AFi±AF2，ZAFiF2=30°,则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（）A.2弟B.;'3C.2D.1x2y2x2y2答案B秒杀设椭圆方程为：a-+b-=1（a>b>0）,双曲线方程^m-—n-=1（m>0,n〉0）,根a2b2m2n2据题意，可设|AF|=^3,|AF|=1,|FF|=2,则a+m=#3,a—m=l,.•.丄+丄=C+C=^C^1212eeccc12=\；3.故选B.A25C.6D答x2c秒杀设椭圆方程为：花x2答案B秒杀设椭圆方程为：£c41>3-故选4、F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A是C,C2在第一象限的交点，且AF1丄A.,ZAF1F2n6则C1与C2的离心率之积为（）双曲线方=1(m>0,n>0),根据题2、中心在原点的椭圆q与双曲线C2具有相同的焦点，.（一c,0）,F2（C,0）,P为C与C2在第一象限的交点，|PF|=|FF|且|PF|=3，若椭圆c的离心率ee（|,5]，则双曲线的离心率e2211\35丿2的范围是（）A.[2，弓B.[3，2）C.[3，2）D.（2,3）x2y2=i（a〉b〉o）,设双曲线方程为m；—n；=i（m〉0,n>°），cc1(24)由题意有，a+m=2c,a一m=3,所以m=2c—a，乂e=m==，因为e[3，5J，所2m2c—a1i[3572—e1以*[4,D，所以。2謂，2）13、已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为匚，.，且两条曲线在第一象限的交点为P,APFF是以PF为底边的等腰三角形，若|PF|=10,椭圆与双曲线的离心率分别1211为e,e,则ee+1的取值范围为（）1212A.（1,+^）B.（3，+^）C.（|,+B）D.（¥，+B）x2y2=1（a〉b〉0），设双曲线方程为mrn;=1（m〉0,n〉°），5c2由题意有，a+m=10,a—m=2c,所以a=5+c,m=5—c,c>2,又ee+1=一+1=一+212am25C2A.2x2y2答案A秒杀设椭圆方程为：£+b；=1（a〉b〉0）,意，可设|AFJ=百，|AF2|=1,I—F2|=2，贝9a+m=诵，a—m=l,.•.a=^^Am=^2^，c2e1e2=am=2.故选A・5、已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为匚，F2,且两条曲线在第一象限的交点为p,△PF1F2是以P.为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率为3,则椭圆的离心率为（）3/I1、A.（3,21、B（5,2）/12、C（3,5）D.（1,1）x2y2x2y2答案A秒杀设椭圆方程为：計話=1（毗〉0）,双曲线方程为云-討i（m〉o，n〉o）,根据题ccc3意,a_m=2c，m=3，Aa=m+2c=7-故选A・6、已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在X轴上，左、右焦点分别为匚、F2,且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF］为底边的等腰三角形.若|PFJ=1O,双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是（）X2y2X2y2a2b2m2n2意有，a+m=10,a—m=2c,所以a=5+c,m=5—c，因为双曲线的离心率的取值范围为（1,c510cc5152、、2），所以1〈戸絵…:产伙亍丁椭圆的离心率e=a=cT5=1—cT5,且3<】—〒<5，・：该12椭圆的离心率的取值范围是勺，5）.7、已知F,F是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF|〉|PF|,线段PF121212e的垂直平分线过F,若椭圆的离心率为e,双曲线的离心率为e,则一+胃的最小值为（）212e21A.6B.3C.;'6D.'3,e1+e2=4（e1+e2）（&+£）=1+4121212&+曰上1+芋=2+产（当且仅当e2=3e2时取等号），故选A.12x2y2x2y219、已知...
