专题03函数值域（最值）的求法（观察法等）VIP免费

1第03讲：函数值域（最值）的求法(观察法、分离常数法、配方法、反函数法和换元法)【考纲要求】1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的值域。2、理解函数的最大值、最小值及其几何意义。【基础知识】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域。二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则。三、常见函数的值域3、反比例函数Error:Referencesourcenotfound的值域为Error:Referencesourcenotfound.4、指数函数Error:Referencesourcenotfound的值域为Error:Referencesourcenotfound.5、对数函数Error:Referencesourcenotfound的值域为R.6、幂函数Error:Referencesourcenotfound的值域为R，幂函数Error:Referencesourcenotfound的值域为Error:Referencesourcenotfound。7、正弦函数Error:Referencesourcenotfound、余弦函数Error:Referencesourcenotfound的值域为Error:Referencesourcenotfound，正切函数Error:Referencesourcenotfound的值域为R，余切函数Error:Referencesourcenotfound的值域为R.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法等。五、函数的值域一定要用集合或区间来表示。六、函数的值域和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值。【方法讲评】方法一观察法使用情景函数的解析式主要是一些简单的特殊的函数组成。解题利用这些特殊函数的性质，结合不等式推导函数的值域。2步骤[来源:学科网]例1求函数x3y的值域。解： 0x3x3,0x故函数的值域是：]3,[方法二分离常数法使用情景函数是对称的分式函数Error:Referencesourcenotfound。解题步骤一般先利用分式的除法将分式分离成一个常数和一个分式函数，再求函数的值域。例2求函数Error:Referencesourcenotfound的值域。解：Error:Referencesourcenotfound Error:Referencesourcenotfound∴Error:Referencesourcenotfound即函数的值域是{y|yR且y1}例3求函数]2,1[x,5x2xy2的值域。解：将函数配方得：4)1x(y2 ]2,1[x由二次函数的性质可知：当Error:Referencesourcenotfound=1时，4ymin，[来源:学。科。网Z。X。X。K]当1x时，8ymax故函数的值域是[4，8]3【点评】对于二次函数，常用配方法求函数的值域。先配方，再利用二次函数的图像和性质求函数的值域。【变式演练3】求函数Error:Referencesourcenotfound的值域。方法四反函数法使用情景已知函数比较容易求反函数。解题步骤先求已知函数的反函数，再求反函数的定义域，最后利用反函数的定义域就是原函数的值域关系得到原函数的值域。例4求函数Error:Referencesourcenotfound的值域。解：Error:Referencesourcenotfound反解得Error:Referencesourcenotfound即Error:Referencesourcenotfound因为反函数Error:Referencesourcenotfound的定义域为Error:Referencesourcenotfound，反函数的定义域即是原函数的值域，所以原函数的值域为Error:Referencesourcenotfound方法五换元法使用情景函数的解析式结构较复杂，函数的变量较多且相互关联。解题步骤一般先引进一个新元代替旧元，再求新函数的值域。例5求函数1xxy的值域。例6已知x满足不等式Error:Referencesourcenotfound.（1）求Error:Referencesourcenotfound的取值范围；（2）求函数Error:Referencesourcenotfound的最小值。4解：（1）Error:Referencesourcenotfound（2）Error:Referencesourcenotfound例7求函数)1x)(cos1x(siny，2,12x的值域。解：)1x)(cos1x(siny1xcosxsinxcosxsin令txcosxsin，则)1t(21xcosxsin222)1t(211t)1t(21y例8已知Error:Referencesourcenotfound是圆Error:Referencesourcenotfound上的点，试求Error:Referencesourcenotfound的值域。解：由题得Error:Referencesourcenotfound，设Error:Referencesourcenotfound2)则Err...