12.3.1角平分线的性质永丰中学周焕山复习提问1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA122.下图中能表示点P到直线l的距离的是线段PC的长如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？小组内互相交流一下吧！探究1---想一想E探究发现如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线.你能说明它的道理吗？ADBC在△ADC和△ABC中AD=ABDC=BCAC=AC∴△ADC≌ABC(SSS△)∴∠DAC=∠BAC∴AE平分∠DABEAＢＭＮＣ作法:⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.⑵分别以M,N为圆心,大于的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.⑶作射线OC,射线OC即为所求.12MN0温馨提示:作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!试一试由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法已知:AOB.∠求作:AOB∠的平分线.探究角平分线的性质(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的几何画板.gsp证明几何命题的一般步骤：1、明确命题的已知和求证2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PDOA⊥，PEOB⊥，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.AOBPED证一证角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。归纳总结AOBPED∵OC平分∠AOB，PDOA⊥，PEOB⊥归纳总结∴PD=PE几何语言描述：(角平分线的性质)AOBPED例2.如图，AD是△ABC的角平分线，DEAB⊥于E，DFAC⊥于F，且BD=CD.求证：EB=FC.典例分析FEDBCA1、如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等ABCPMNDEF证明：过点P作PDAB⊥于D，PEBC⊥于E，PFAC⊥于F∵BM为△ABC的角平分线∴PD=PE同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF即点P到三边AB、BC、CA的距离相等用一用（1）例：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DEAB⊥于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB。DFECBA应用与提高∵AD平分∠CABDEAB⊥，∠C＝90°（已知）∴CD＝DE(角平分线的性质)在ＲtCDF△和RtEDB△中CD=DE（已证）DF=DB（已知）∴RtCDFRtEDB(HL)△△≌CF=EB（全等三角形对应边相等）证明：DFECBA2.如图，△ABC的∠B的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.拓展延伸ABFECPD丰收乐园
