北京市西城教研中心高考数学思想专题系列讲座函数与方程（不等式）函数是高中数学知识的主要内容，它不仅是高中代数的主干，而且在其他知识块儿也起着重要的作用。函数包括概念、图象（数形结合）、性质（单调性）。函数的思想是对函数内容在高层次的抽象、概括、提炼，从整体的角度来考虑问题、研究问题、解决问题。函数的思想贯穿于高中数学知识的始终。当函数值等于零或不等于零（大于零、小于零）时，函数就和方程、不等式联系在一起了，它们之间有区别，也有联系，更重要的是联系，这种联系就是函数思想的一种体现，是研究变量之间关系的基本方法。函数思想的考查包括函数知识本身的考查以及函数知识与其他知识的联系，而后者更能体现出函数思想的运用。【函数与方程、不等式】例1．已知：函数，，且方程有实根。（１）求证：且；（２）若是方程的一个实根，判断的正负并加以证明。【解析】：（1），又c＜b＜1，故方程f（x）＋1＝0有实根，即有实根，故△＝即或又c＜b＜1，得-3＜c≤-1，由知．（2），，∴c＜m＜1∴，∴，∴的符号为正。例2．(07广东文)21．已知：是实数,函数.如果函数在区间[-1,1]上有零点,求：的取值范围.【解析】若,则,令,不符题意,故当在[-1,1]上有一个零点时,此时或解得或当在[-1,1]上有两个零点时,则解得即，∴实数的取值范围为.(别解:,题意转化为知求的值域,令得转化为对勾函数问题.)例3．(海淀2008.1)19．设、是函数的两个极值点.（1）若，求函数的解析式；（2）若，求的最大值；（3）设函数，，当时，求证：.【解析】：（I）∵，∴依题意有，∴.解得，∴.（II）∵,依题意，是方程的两个根，且，∴。即：，∴。∵，∴.设，则.由得，由得.即：函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，∴当时，有极大值为96，∴在上的最大值是96，∴的最大值为.（III）证明：∵是方程的两根，∴.∵，，∴.∴∵，即∴∴.∴【函数与其他知识】1．函数与方程的思想在数列中的运用例1．三个数成等差数列，其公差为d，若最小数的2倍，最大数加7，则三个数成等比数列，且它们的积为1000，此时d为（B）(A)8(B)8或－15(C)±8(D)±15例2．已知：等差数列中，公差，其中部分项成等比数列，若、，，求：数列通项公式。（）例3．已知：数列的各项均为正数，为其前项和，且.（1）求数列的通项公式；（）（2）数列的前项和为，且，求证：对任意正整数n，总有；例4．数列中，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是_______。2．函数与方程的思想在三角函数中的运用例1．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记（1）证明：；（2）若，求：的值.【解析】：(1)，，即（2）在中，由正弦定理得由(1)得，即．，。3．函数与方程的思想在解析几何中的运用例1．椭圆上一点，、为焦点，若,，则椭圆的离心率为（A）(A)(B)(C)(D)BDCαβA例2．若长为l0＜l＜1的线段AB的两个端点在抛物线上滑动，则线段AB中点M到x轴距离的最小值是________．例3．（海淀2008.1）（18）已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线的方程为（I）求抛物线S的方程；（II）若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足.试说明动直线PQ是否过一个定点.【解析】：(I)设抛物线S的方程为由可得由，有，或设则设，由的重心为则，∵点A在抛物线S上，∴∴∴抛物线S的方程为（II）①当动直线的斜率存在时，设动直线方程为，显然设，∵，∴∴∴将代入抛物线方程，得∴从而∴∵，∴∴动直线方程为，此时动直线PQ过定点②当PQ的斜率不存在时，显然轴，又，∴为等腰直角三角形.由得到，此时直线PQ亦过点.综上所述，动直线PQ过定点.4．函数与方程的思想在概率中的运用例1．若干人进行单循环比赛，两人各赛三场后，因故退出比赛，全部比赛共进行了83场，问：原有多少人比赛。（15）函数与方程（不等式）的思想贯穿于高中学习的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程（不等式）思想的运用使我们解决问题的重要手段。
