【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第9章第8节用向量方法求角与距离(理)新人教B版一、选择题1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是()A.B．C.D．[答案]C[解析]如图，以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，∴DA1＝(1,0,1)，DB＝(1,1,0)，BC1＝(－1,0,1)，设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则∴∴令x＝1得，n＝(1，－1，－1)，设直线BC1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈BC1，n〉|＝＝＝，∴cosθ＝＝.2．(2014·河北石家庄模拟)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝2，CC1＝，则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为()A．1B．C.D．[答案]A[解析]设线段A1B1，AB的中点分别为O，D，则OC1⊥平面ABB1A1，以OB1，OC1，OD的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则A(－1,0，)，B1(1,0,0)，B(1,0，)，C1(0，，0)，∴AB1＝(2,0，－)，BC1＝(－1，，－)，因为AB1·BC1＝(2,0，－)·(－1，，－)＝0，所以AB1⊥BC1，即异面直线AB1和BC1所成角为直角，则其正弦值为1，故选A.3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面1ABC1D1的距离为()A.B．C.D．[答案]B[解析]解法1：以D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O，设平面ABC1D1的法向量n＝(x，y,1)，则∴∴∴n＝(1,0,1)，又OD1＝，∴O到平面ABC1D1的距离d＝＝＝.解法2：易证A1D⊥平面ABC1D1，∴A1到平面ABC1D1的距离为， O为A1C1的中点，∴O到平面ABC1D1的距离为.4．(2014·宁夏银川调研)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.B．C.D．[答案]A[解析]方法一：取A1C1的中点E，连接AE，B1E，如图．由题易知B1E⊥平面ACC1A1，则∠B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角．设正三棱柱侧棱与底面边长为1，则sin∠B1AE＝＝＝.方法二：如图，以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系E－xyz，设棱长为1，则A(，0,1)，B1(0，，0)，∴AB1＝(－，，－1)，EB1＝(0，，0)．设AB1与平面ACC1A1所成的角为θ，EB1为平面ACC1A1的法向量．2则sinθ＝|cos〈AB1，EB1〉|＝||＝.5．(2014·福建泉州二模)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A.B．C.D．[答案]D[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，∴D1A1＝(2,0,0)，DA1＝(2,0,2)，DB＝(2,2,0)，设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1BD的距离是d＝＝＝.[点评]可用等积法求解VD1－A1BD＝VB－A1DD1.一、空间的距离1．两点间的距离：连结两点的线段的长度．2．点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂直相交的直线，点到垂足之间线段的长度．3．点到平面的距离：从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间线段的长度．连接平面α外一点与平面α内任一点的线段中，垂线段最短．4．平行直线间的距离：从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，这点到垂足间线段的长度．5．异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度．6．直线与平面间的距离：如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度．7．两平行平面间的距离：两个平面的公垂线段的长度．二、求距离的方法1．综合几何方法①找出或作出有关距离的图形；②证明它符合定义；③在平面图形内计算．空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法．2．向量法3(1)求直线到平面的距离设直线a∥平面α，A∈a，B∈α，n是平面α的法向量，过A作AC⊥α，垂足为C，则AC∥n， AB·n＝(AC＋CB)·n＝AC·n，∴|AB·n|＝|AC|·|n|.∴直线a到平面α的距离d＝|AC|＝.(2)求两平行平面间的距离①用公式d＝求，n为两平行平面的一个法向量，A、B分别为两平面上的任意两点．②转化为点面距或线面距求解．(3)求点面距时，平面内的点可以任意选取，实际解题...
