第5讲-高斯光束VIP免费

激光原理与技术·原理部分第5讲高斯光束---激光器基本光束第一页，共三十七页。重复5.4波动方程=数学基础+物理概念•类透镜介质中的波动方程---博士生考试–在各向同性、无电荷分布的介质中，Maxwell方程组的微分形式为：(1)(2)0(3)EHtHEutE22HEEuutt对2式求旋度：2EEE且由3式：10EEEEE在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即0222(4)EuEt综合上三式可以得到假设折射率n的空间变化很小，即n(r)满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：0(,,,)Re(,,)itExyztExyze代入(4)式220022()0()()EkrEkrur波动方程也称亥姆霍兹方程第二页，共三十七页。波动方程–当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：22()()()1rkruri当代表吸收介质，代表增益介质00上式表示复数波数.220022()0()()EkrEkrur波动方程也称亥姆霍兹方程第三页，共三十七页。波动方程我们考虑波数表示形式为222002()krkkkr其中k0、k2都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置r和介质的特性k2都有关系。由波数的定义：可以得到n(r)的表达式：2()()krnr222200200()()1222knrkrkkkrkrk的情况该表达式就是类透镜介质的折射率表达式，证明我们考虑的k(r)表达式代表的正是在类透镜介质中的情况。2222000011222kkkrnrkk级数展开第四页，共三十七页。波动方程•类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。可以假设光场的横向分布只与有关，因此波动方程中的算符可以表示为：22rxy2222222221rzrrrz第五页，共三十七页。波动方程•我们假设，其中a为集中大部分能量的横截面半径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：其中e-ikz表示波数为k的严格平面波；•为了研究修正平面波，我们引入了修正因子，它包含了相位和振幅修正两部分。•该修正因子满足慢变近似：将这些相关假设带入波动方程可以得到：2(,,)ikzExyze(,,)xyz2',"kk2222'0ikkkr第六页，共三十七页。波动方程•令修正因子取以下形式：20exp()2()kEipzrqz为什么取这种形式？这是对波动方程进行长期研究得到的解，既满足方程，又有明确的、能够被实验证实的物理意义。第七页，共三十七页。牢记波动方程--结果--后面还有用–通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到：该方程对不同r都成立，因此r2系数为零，k项系数也为零：–该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。222222122'0()()()kkrikrkpkkrqzqzqz2220'110()()'()()krqzqzkipzrqz项系数项系数第八页，共三十七页。5.0（继续)类透镜介质中的波动方程•从麦克斯韦方程组出发，推导出各向同性、无电荷分布介质中的波动方程为：•若假设其解为修正平面波，且将类透镜介质折射率表达式带入其中可以得到：•其中为修正因子，若假设其形式为：•可得到简化的波动方程：222EuEt2222'0ikkkr(,,)xyz20exp()2()kEipzrqz22'110()()'()()kqzqzkipzqz第九页，共三十七页。5.1均匀介质中的高斯光束–均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即k2=0时的类透镜介质，此时简化波动方程为：–引入一中间函数S，使代入上式得到–得出该微分方程的解为，a、b为复常数–则–由p与q的关系得到–C1不影响振幅和相位的分布，因此可...