二次函数与一元二次方程的联系VIP专享VIP免费

1.4二次函数与一元二次方程的联系湘教版九年级下册第第11章二次函数章二次函数第第11章二次函数章二次函数一、情景导入，初步认识问题以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（m）与飞行时间t（s）之间具有关系：h=20t-5t²（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要飞行多长时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要飞行多长时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多长时间？二、思考探究，获取新知问题1画出函数y=x²-4x+3的图像，根据图像回答问题：（1）图象与x轴交点的坐标是什么？（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x²-4x+3=0有什么关系？（3）你能从中得到什么启示？例1求抛物线y=4x2+12x+5与x轴的交点的横坐标.解4x2+12x+5=0，这里a=4，b=12，c=5，b2-4ac=122-4×4×5=144-80=64.因此126412832===.2482x---±±±×从而1215==.22xx--,所以抛物线y=4x2+12x+5与x轴的交点的横坐标为或12-5.2-典例赏析典例赏析例2求抛物线y=x2+2x+1与x轴的交点的横坐标.解x2+2x+1=0.即(x+1)2=0.解得x1=x2=-1.因此，抛物线y=x2+2x+1与x轴的交点的横坐标为-1.例3抛物线y=x2+2x+2与x轴有交点吗？解x2+2x+2=0.这里a=1，b=2，c=2，b2-4ac=22-4×1×2=4-8＜0.这个一元二次方程没有实数解，因此抛物线y=x2+2x+2与x轴没有交点.例4在上面掷铅球的例子中，若铅球在空中经过的抛物线是当铅球离地面高度为2m时，它离初始位置的水平距离是多少(精确到0.01m)？219=++14020yxx-.解由抛物线的解析式得即x2-18x+40=0.2192=++14020xx-，这里a=1，b=-18，c=40，b2-4ac=(-18)2-4×1×40=164.从而x1≈15.40，x2≈2.60.因此1816418241===94196.40.212x±±±≈±×答：当铅球离地面高度为2m时，它离初始位置的水平距离约为2.60m或15.40m.一般地，二次函数y=ax²+bx+c的图像和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax²+bx+c=0的根有什么关系？问题3问题3归纳结论一般地，从二次函数y=ax²+bx+c的图象可知：（1）如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标x0.那么当x=x0时，函数的值为0，因此x=x0就是方程ax²+bx+c=0的根；（1）如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标x0.那么当x=x0时，函数的值为0，因此x=x0就是方程ax²+bx+c=0的根；（2）二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程ax²+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根。因此可通过方程的根的判别式Δ＜0，Δ=0和Δ＞0来判别抛物线与x轴的交点的个数（Δ=b²-4ac，其中a、b、c为抛物线表达式中二次项系数，一次项系数和常数项）例5求一元二次方程x2-2x-1=0的解的近似值(精确到0.1).分析从例1受到启发，一元二次方程x2-2x-1=0的解就是抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的横坐标.因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标.这种解一元二次方程的方法叫做图象法.例1求抛物线y=4x2+12x+5与x轴的交点的横坐标.例1求抛物线y=4x2+12x+5与x轴的交点的横坐标.解y=x2-2x-1=(x2-2x+1-1)-1=(x-1)2-2.对称轴是x=1，顶点坐标是(1,-2).列表x122.53y=(x-1)2-2-2-10.252描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性画出图象在对称轴左边的部分.就得到了y=x2-2x-1的图象.如图2图2从图量得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4，因此方程x2-2x-1=0的解的近似值为-0.4或2.4。图2