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《2.3.1-数学归纳法》同步练习4VIP免费

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《2.3.1数学归纳法》同步练习4一、选择题1.用数学归纳法证明1+q+q2+…+qn+1=(n∈N*,q≠1),在验证n=1等式成立时,等式左边的式子是()A.1B.1+qC.1+q+q2D.1+q+q2+q3[答案]C[解析]左边=1+q+q1+1=1+q+q2.故选C.2.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N*),从n=k到n=k+1,左边的式子之比是()A.B.C.D.[答案]B[解析]==.故选B.3.用数学归纳法证明++…+>(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边()A.增加了一项B.增加了两项+C.增加了B中两项但减少了一项D.以上各种情况均不对[答案]C[解析]n=k时,左边=++…+,n=k+1时,左边=++…+++∴增加了+,减少了一项.故选C.4.设平面内有k条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k条直线的交点个数为f(k),则f(k+1)与f(k)的关系是()A.f(k+1)=f(k)+k-1B.f(k+1)=f(k)+k+1C.f(k+1)=f(k)+k+2D.f(k+1)=f(k)+k[答案]D[解析]因为任何两条不平行,任何三条不共点,所以当增加一条直线时,则增加k个交点,故交点个数为f(k)+k.5.某个与正整数n有关的命题,如果当n=k(k∈N*)时该命题成立,则可推得n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时命题不成立,那么可推得()A.当n=4时该命题不成立B.当n=6时该命题不成立C.当n=4时该命题成立D.当n=6时该命题成立[答案]A[解析]由命题及其逆否命题的等价性知选A.6.等式12+22+32+…+n2=(5n2-7n+4)()A.n为任何正整数都成立B.仅当n=1,2,3时成立C.当n=4时成立,n=5时不成立D.仅当n=4时不成立[答案]B[解析]经验证,n=1,2,3时成立,n=4,5,…不成立.故选B.7.(2015·枣庄一模)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2[答案]D[解析] 当n=k时,左边=1+2+3+…+k2.当n=k+1时,左边=1+2+3+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2,∴当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.8.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3[答案]A[解析]因为从n=k到n=k+1的过渡,增加了(k+3)3,减少了k3,故利用归纳假设,只需将(k+3)3展开,证明余下的项9k2+27k+27能被9整除.二、填空题9.(2015·辽宁师大附中高二检测)用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的过程中,第二步n=k时等式成立,则当n=k+1时应得到________.[答案]1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-110.用数学归纳法证明当n∈N+时,1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数时,当n=1时原式为__________,从k→k+1时需增添的项是________.[答案]1+2+22+23+2425k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+411.使不等式2n>n2+1对任意n≥k的自然数都成立的最小k值为________.[答案]5[解析]25=32,52+1=26,对n≥5的所有自然数n,2n>n2+1都成立,自己用数学归纳法证明之.三、解答题12.已知f(n)=1+++…+,n∈N+,求证:n+f(1)+…+f(n-1)=nf(n)(n≥2且n∈N+).[证明](1)当n=2时,左边=2+f(1)=3,右边=2f(2)=3,等式成立.(2)假设n=k时,k+f(1)+…+f(k-1)=kf(k).当n=k+1时,k+1+f(1)+…+f(k-1)+f(k)=1+f(k)+kf(k)=(k+1)f(k)+1=(k+1)·(f(k)+)=(k+1)f(k+1).即n=k+1时,命题成立.根据(1)和(2),可知结论正确.一、选择题1.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3…(2n-1)(n∈N+)”,则“从k到k+1”左端需乘的代数式为()A.2k+1B.2(2k+1)C.D.[答案]B[解析]n=k时左式=(k+1)(k+2)(k+3)n=k+1时左式=(k+2)(k+3)…(2k+1)(2k+2)故“从k到k+1”左端需乘=2(2k+1).故选B.2.已知数列{an},a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(k∈N*),用数学归纳法证明a4n能被4整除时,假设a4k能被4整除,应证()A.a4k+1能被4整除B.a4k+2能被4整除C.a4k+3能...

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