《2.3.1数学归纳法》同步练习4一、选择题1．用数学归纳法证明1＋q＋q2＋…＋qn＋1＝(n∈N*，q≠1)，在验证n＝1等式成立时，等式左边的式子是()A．1B．1＋qC．1＋q＋q2D．1＋q＋q2＋q3[答案]C[解析]左边＝1＋q＋q1＋1＝1＋q＋q2.故选C.2．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边的式子之比是()A.B．C.D．[答案]B[解析]＝＝.故选B.3．用数学归纳法证明＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边()A．增加了一项B．增加了两项＋C．增加了B中两项但减少了一项D．以上各种情况均不对[答案]C[解析]n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋∴增加了＋，减少了一项.故选C.4．设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是()A．f(k＋1)＝f(k)＋k－1B．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1C．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2D．f(k＋1)＝f(k)＋k[答案]D[解析]因为任何两条不平行，任何三条不共点，所以当增加一条直线时，则增加k个交点，故交点个数为f(k)＋k.5．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时命题不成立，那么可推得()A．当n＝4时该命题不成立B．当n＝6时该命题不成立C．当n＝4时该命题成立D．当n＝6时该命题成立[答案]A[解析]由命题及其逆否命题的等价性知选A.6．等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－7n＋4)()A．n为任何正整数都成立B．仅当n＝1，2，3时成立C．当n＝4时成立，n＝5时不成立D．仅当n＝4时不成立[答案]B[解析]经验证，n＝1，2，3时成立，n＝4，5，…不成立．故选B.7．(2015·枣庄一模)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2[答案]D[解析] 当n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2.当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.8．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3[答案]A[解析]因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋3)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．二、填空题9．(2015·辽宁师大附中高二检测)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．[答案]1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－110．用数学归纳法证明当n∈N＋时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为__________，从k→k＋1时需增添的项是________．[答案]1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋411．使不等式2n＞n2＋1对任意n≥k的自然数都成立的最小k值为________．[答案]5[解析]25＝32，52＋1＝26，对n≥5的所有自然数n，2n＞n2＋1都成立，自己用数学归纳法证明之．三、解答题12．已知f(n)＝1＋＋＋…＋，n∈N＋，求证：n＋f(1)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n≥2且n∈N＋)．[证明](1)当n＝2时，左边＝2＋f(1)＝3，右边＝2f(2)＝3，等式成立．(2)假设n＝k时，k＋f(1)＋…＋f(k－1)＝kf(k)．当n＝k＋1时，k＋1＋f(1)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝1＋f(k)＋kf(k)＝(k＋1)f(k)＋1＝(k＋1)·(f(k)＋)＝(k＋1)f(k＋1)．即n＝k＋1时，命题成立．根据(1)和(2)，可知结论正确.一、选择题1．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)(n∈N＋)”，则“从k到k＋1”左端需乘的代数式为()A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D．[答案]B[解析]n＝k时左式＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)n＝k＋1时左式＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)故“从k到k＋1”左端需乘＝2(2k＋1)．故选B.2．已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋an－1(k∈N*)，用数学归纳法证明a4n能被4整除时，假设a4k能被4整除，应证()A．a4k＋1能被4整除B．a4k＋2能被4整除C．a4k＋3能...
