4.1.2圆的一般方程VIP免费

4.1.2圆的一般方程知识回顾：圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径：(x-1)2+(y+2)2=2(x+2)2+(y-2)2=5(x+a)2+(y-2)2=a2(a≠0)特征：直接看出圆心与半径x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得22222202rbabyaxyx由于a,b,r均为常数FrbaEbDa222,2,2令结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0问：是不是任何一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0方程表示的曲线是圆呢？思考:方程表示什么图形?方程表示什么图形?222410xyxy222460xyxy22(1)(2)4xy22(1)(2)1xy以(1,-2)为圆心,2为半径的圆.不表示任何图形.配方可得：（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以不表示任何图形。把方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（）为圆心，以()为半径的圆2,2EDFED42122（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2y=-E/2，表示一个点（）2,2ED所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）可表示圆的方程22224()()224DEDEFxy圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0圆的一般方程与标准方程的关系：（D2+E2-4F>0）（1）a=-D/2，b=-E/2，r=FED42122没有xy这样的二次项（2）标准方程易于看出圆心与半径一般方程突出形式上的特点：x2与y2系数相同并且不等于0；练习1：判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径（1）x2+y2-2x+4y-4=0（2）2x2+2y2-12x+4y=0（3）x2+2y2-6x+4y-1=0（4）x2+y2-12x+6y+50=0（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0是圆心（1，-2）半径3是圆心（3，-1）半径10不是不是不是1、A＝C≠0圆的一般方程：二元二次方程：Ax2+Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0的关系:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）2、B=03、D2＋E2－4AF＞0二元二次方程表示圆的一般方程圆的方程（x-a)2+(y-b)2=r2X2+y2+Dx+Ey+F=0知D、E、F知a、b、rD2+E2－4F>0配方展开思考思考(1)22xy和的系数相同，且不等于零；(2)没有xy项；(3)22DE4F>0圆的标准方程与一般方程各有什么优点？圆的标准方程与一般方程各有什么优点？标准方程：明确地指出了圆心和半径；标准方程：明确地指出了圆心和半径；一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方程理论的应用一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方程理论的应用一般式有那些特点？例1：求过三点A(5,1),B(7,-3),C(2,8)的圆的方程圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点xyOEA(5,1)B(7,-3)C(2,-8)几何方法方法一：方法二：待定系数法待定系数法解：设所求圆的方程为：222)()(rbyax因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上222222222(5)(1)(7)(3)(2)(8)abrabrabr235abr22(2)(3)25xy所求圆的方程为方法三：待定系数法解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上22222251507(1)7028280DEFDEFDEF4612DEF22(2)(3)25xy即所求圆的方程为220xyDxEyF2246120xyxy例2:求过点的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心.12(0,0),(1,1),(4,2)OMM解:设圆的方程为:220xyDxEyF因为都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即12,,OMM02042200FDEFDEF860DEF所以,圆的方程为:22860xyxy练习2:如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径长.3(2,3)(2,3)(3,0)(3,0)解:设圆的方程为:220xyDxEyF因为A,B,C都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即93093013430DFDFDEF40,,93DEF圆的方程:224903xyy即:22285()39xy圆心:半径:8532(0,)3例3已知平面内某动点M到两个定点A(1,1),B(2,-2)的距离相等,求点M的轨迹方程.求平面内动点的轨迹方程：（即求线段AB的垂直平分线的方程）应用举例例4已知线段AB的端点B（4，3）,...