第五章 解析函数的局域性展开VIP专享VIP免费

第五章解析函数第五章解析函数的局域性展开的局域性展开数学物理方法——按照函数的展开区域不同分为：泰勒展开——解析点洛朗展开——奇点常用函数在z=0点的泰勒展开多值函数的泰勒展开奇点的分类解析延拓洛朗级数求解方法泰勒展开设函数f(z)在以a为圆心的圆C内及C上解析，则对于圆内的任何z点，f(z)可在a点展开为幂级数其中5.1解析函数的泰勒展开如何将一个解析函数表示成幂级数？0)()(nnnazazf!)()()(21)(1nafdafianCnn定理由柯西积分公式可知GzCdzfizf)(21)(01111)()(11nnaazaaazaazaz而此级数在上一致收敛，因此可以逐项积分1raaz证明G是C所围的区域，有1,110tttnnCnnndfaazizf)()()(21)(01!)()()(21)(1nafdafianCnn柯西导数公式01)()()(21nnCnazdafi0)(nnnaza收敛范围——若b是f(z)离a点最近的奇点，则收敛半径说明条件可以放宽为f(z)在C内解析，对给定z，总可以以a为圆心作闭圆，使。泰勒展开的唯一性——给定一个在圆C内解析的函数，则它的泰勒展开是唯一的，即展开系数an是完全确定的。CabR※Cz※※实变函数中f(x)的任何阶导数存在，也不能保证泰勒公式成立。复变函数中f(z)解析就可以保证泰勒级数收敛。※f(z)在复平面上处处解析，且z=0处，泰勒系数5.2泰勒级数求法举例常用函数的泰勒展开式①),2,1,0(,!1!)0()(nnnfann),2,1,0(,)()(nezfznzeznzzzznzennnz,!!3!21!320z=0处，zzf11)(1,)1(432)1()1ln(143211zznzzzzznznnnnn),3,2,1(,)1(!)0(1)(nnnfannn②)1ln(z2)1(1)(zzf3)1(2)(zzf4)4()1(6)(zzf),3,2,1(,)1()!1()1()(1)(nznzfnnnieeziziz2sin0423022100)(iiiinnn③zzcos,sin0200)1()!2(!2])([!)(!)(212coslllnnnnnnnizizlzniizniznizeeziiiiinnn2403220120)(0!)(!)(21nnnniznizi0!2])([nnnniniiz012)1()!12(llllz1)()1(!)(nnznzf④z111,111320zzzzzzznnnz=0处，!)0()(nfn),3,2,1(,1!)0()(nnfann利用①~④的线性组合、微商、积分，可得1,)1()(1102022zzzznnnnn21,)12(])2(2[2121123110102zzzzzzzznnnnnn1,)1(11)1(1002zznzdzdzdzdznnnn泰勒级数求法级数相乘法——一个函数可以表示成两个（或多个）函数的乘积，而这些函数的泰勒展开比较容易。待定系数法——通过泰勒展开系数公式求每一项的展开系数!)()()(21)(1nafdafianCnn例题解求函数在z=0处的泰勒展开。22311zz级数相乘法举例zzzz2111123112002lllkkzz002kklllz（同次幂合并）002nnnllz21,)12(01zznnnnlnkknlnkl~0~0~0例题解求函数在z=0处的泰勒展开。zez11,!1!!1000000zzkkzzkzzennnkklklllkkz例题解求函数在z=0处的泰勒展开。ztan待定系数法举例01212tankkkzaz01212cossinkkkzazz00122120121202012)!2()1()!2()1()!12()1(lkklklkkklllnnnzalzazlzn tanz为奇函数，∴z=0处只存在奇次项012012012)!22()1()!12()1(nnnkkknnnnzaknznkln可知)!12(1)!22()1(012nknakkk3151750401224720315261212412316121110775315531331112...