©1994-2009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net第卷第期合肥工业大学学报自然科学版飞。地。咐等倾角变螺距圆锥螺旋线的几何特性及其作图方法夏鼎立提要本文应用徽分几何理论和画法几何的图示与图解方法,研究等倾角变螺距圆锥级旋线的几何特性及其投影图的绘制方法,并得出如下结论等倾角变螺距圆锥螺旋线展开后是对数探线,只描计算一个参数值,即可用几何作图方法画出展开图,它的切线与面相交的轨迹也是对数螺线,而且切线与面的夹角为常数,即二。界渭口,等倾角变螺距圆锥螺旋线的主法线与轴垂直相交。关键词等角变距圆锥螺旋线对数螺线轨迹主法线引言在文献〔〕中,对数等倾角变螺距圆锥螺旋线的形成原理及投影图的绘制方法作了详尽的阐述。这种圆锥螺旋线其特点是任一点处的切线与圆锥素线的夹角为常数,而螺距是变化的这给作图带来困难。文献【从理论上和作图方法上都作了圆满的解答。本义在此基础上对等倾角变螺距圆锥螺旋线的展开图、切线、主法线等几个几何特性及其作图方法进行理论研究。等倾角变螺距圆锥螺旋线的展开图等倾角变螺距圆锥螺旋线是在正圆锥面上形成的一种空间曲线,它的螺旋角“是常数,而螺距尸是变化的,它随转角的增大而增加。当圆锥展开后变成扇形,螺旋线由空间曲线亦变成平面曲线。现研究此平面曲线的变化规律和作图方法。等倾角变螺距圆锥螺旋线的参数方程【〕是式中介一护乙。夕为常数,,为锥顶半角,为参数,为等倾角变螺距圆锥螺旋线的螺旋角常数收稿日期一一©1994-2009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net第期夏鼎立等倾角变螺距团锥螺旋线的几何特性及其作图方法二,是等倾角变螺距圆锥螺旋线的直观图,当点在锥面上转动二时,它由肛,上升到,其导程为。由式可知,当二,,“时消’,由图可知,则导程尹为一乃,一圆锥母线长为二一”圆锥底半径,长为,‘正圆锥展开后的扇形角为一飞加一一一丫当已知等倾角圆锥螺旋线的投影图及有关参数值,利用公式、、、即可准确地作出它的展开图。图是等倾角变螺距圆锥螺旋线的正投影图面,为了绘制其展开图可用图解法及计算法。图解法用画法几何方法,直接将正投影图进行展开作图。首先把正圆锥展成扇形,并作出相应的射线,然后在图中求出等倾角圆锥螺旋线各点到锥顶口的真实距离、、口尸、、。再将它们逐一量取到扇形的相应的射线上。最后光滑地把这些点连接起来,即得到等倾角变螺距圆锥螺旋线的展开图。如图所示。这种方法的作图精度取决于曲线的正投影的作图精度和展开图的作图精度。计算法根据前面推导的公式计算有关数值,即可作图。我们知道,正圆锥表面展开后是扇形,由锥面变成平面图形。等倾角变螺距圆锥螺旋线也随之由空间曲线变成平面曲线。少一丫曝、等倾角变螺距圆锥螺旋线的极坐方程〔〕为一‘。其中为参变量。如果把锥顶,看成是极点,把锥面上的每一条素线看成向径。由于圆锥螺旋线的切线与素线的夹角是定©1994-2009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net合肥工业大学学报自然科学版年第卷值,因此它是锥面上一条对数螺线‘当锥面展开成扇形后,曲线与射线之间的夹角仍保持不变,等倾角变辉距圆锥螺旋线也随之变成一条平面上的对数螺线。由于对数螺线是指数函数,用计算法作图比较费时费事。用文献〔〕介绍的方法作图,非常简单方便。图图中的扇形是正圆锥的展开图。为作图方便射线间的夹角相等。口点当成极点,两点是等倾角变螺距圆锥旋线转动一周后一个导程的端点,按文献幻推导的公式尹二式中二咖界甲角—之。必耐一。材—锥顶半角—螺旋角,—向径之间夹角作图等分角由公式、、、、可知,要作等倾角变螺距圆锥螺旋线的展开图,只要已知锥顶半角、螺旋角。和常数。即可计算出有关数据。然后进行作图。户‘异班”图介绍一种计算简单、作图方便的绘制等倾角变螺距圆锥螺旋线展开图的方法。其作图步骤如下由已知、、计算、,、,、甲值。©1994-2009ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net第期夏燕立等倾角变螺距圈锥螺旋线的几何...
