数学建模案例分析第8讲 最短路问题VIP免费

数学建模与数学实验最短路问题实验目的实验内容2．会用MATLAB软件求最短路1．了解最短路的算法及其应用1．图论的基本概念2．最短路问题及其算法3．最短路的应用4．建模案例：最优截断切割问题5．实验作业图论的基本概念一、图的概念1．图的定义2．顶点的次数3．子图二、图的矩阵表示1．关联矩阵2．邻接矩阵返回定义有序三元组G=(V,E,)称为一个图,如果：[1]V=},,,{21nvvv是有限非空集，V称为顶点集，其中的元素叫图G的顶点.[2]E称为边集，其中的元素叫图G的边.[3]是从边集E到顶点集V中的有序或无序的元素偶对构成集合的映射，称为关联函数.例1设G=(V,E,)，其中V={v1,v2,v3,v4}，E={e1,e2,e3,e4,e5},112213314414544(),(),(),(),()evvevvevvevvevv.G的图解如图图的定义定义在图G中，与V中的有序偶(vi，vj)对应的边e，称为图的有向边（或弧），而与V中顶点的无序偶vivj相对应的边e，称为图的无向边.每一条边都是无向边的图，叫无向图；每一条边都是有向边的图，称为有向图；既有无向边又有有向边的图称为混合图.定义若将图G的每一条边e都对应一个实数w(e)，则称w(e)为边的权，并称图G为赋权图.规定用记号和分别表示图的顶点数和边数.常用术语：（１）端点相同的边称为环．（２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边．（３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边称为相邻的边．（４）边和它的端点称为互相关联的．（５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图．（６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为Kn，其中n为顶点的数目．(7)若V=XY，XY=，且X中任两顶点不相邻，Y中任两顶点不相邻，则称G为二元图；若X中每一顶点皆与Y中一切顶点相邻，则G称为完备二元图，记为Km,n，其中m,n分别为X与Y的顶点数目．返回顶点的次数定义（１）在无向图中，与顶点v关联的边的数目（环算两次）称为v的次数，记为()dv．（２）在有向图中，从顶点v引出的边的数目称为v的出度，记为()dv＋，从顶点v引入的边的数目称为v的入度，记为()dv－，()dv=()dv＋+()dv－称为v的次数．4()4dv5)(3)(2)(444vdvdvd定理１)(2)()(GvdGVv推论１任何图中奇次顶点的总数必为偶数．例在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数.返回子图定义设图G=(V,E,),G1=(V1,E1,1)(1)若V1V，E1E,且当eE1时，1(e)=(e),则称G1是G的子图．特别的，若V1=V，则G1称为G的生成子图．(2)设V1V，且V1，以V1为顶点集、两个端点都在V1中的图G的边为边集的图G的子图，称为G的由V1导出的子图，记为G[V1].(3)设E1E,且E1,以E1为边集,E1的端点集为顶点集的图G的子图,称为G的由E1导出的子图,记为G[E1].GG[{v1,v4,v5}]G[{e1,e2,e3}]返回关联矩阵对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝)(ijm，其中：10ijijijvemve若与相关联若与不关联M=43215432110110011000101110001vvvveeeee对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝)(ijm，其中：不关联与若的终点是若的起点是若jijijiijevevevm011注：假设图为简单图返回邻接矩阵对无向图Ｇ，其邻接矩阵)(ijaA，其中：不相邻与若相邻与若jijiijvvvva01注：假设图为简单图A=432143210111101011011010vvvvvvvv对有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其邻接矩阵)(ijaA，其中：EvvEvvajijiij），若（），若（01对有向赋权图Ｇ，其邻接矩阵)(ijaA，其中：EvvjiwEvvwajiijjiijij),(0,),(若若为其权且若无向赋权图的邻接矩阵可类似定义．A=4321432105375083802720vvvvvvvv返回最短路问题及其算法一、基本概念二、固定起点的最短路三、每对顶点之间的最短路返回基本概念通路44112544141vevevevevWvv道路4332264521141vevevevevevTvv路径4521141vevevPvv定义１在无向图G=(V,E,)中：（１）顶点与边相互交错且iiivve1)((i=1,2,…,k)的有限非空序列)(12110kkkvevevevw称为一条从0v到kv的通路，记为kvvW0（２）边不...