立体几何中的向量方法一VIP免费

平面向量空间向量推广到立体几何问题(研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形)向量渐渐成为重要工具研究从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.前面,我们把。＋＝，使，实数对共面的充要条件是存在与向量不共线，则向量如果两个向量byaxpyx,p,baba共线向量定理:复习：共面向量定理:0//aabbabb对空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数，使＝。思考1：1、如何确定一个点在空间的位置？2、在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？3、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？4、给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？OPOPOPP��在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示。我们把向量称为点的位置向量。OP一、点的位置向量aABP二、直线的向量参数方程对于直线l上的任一点P,存在实数t使得APtAB�(1，）OPOAtaOPxOAyOBxy��此方程称为直线的向量参数方程。这样点A和向量不仅可以确定直线l的位置，还可以具体写出l上的任意一点。a空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.lPbaOOPxayb�空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.对于平面上的任一点P,存在有序实数对(,)xy,使得除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.n这样，点O与向量不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点。ab、三、平面的法向量A平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.nnnn给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.nn几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有0nm��nm�nl问题：如何求平面的法向量？),,()1(zyxn设出平面的法向量为),,(),,,()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,,)3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4((2,2,1),(4,5,3),ABACABC�例2：已知求平面的单位法向量。nxyz解：设平面的法向量为（，，），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz��则，（，，），（，，）220,4530xyzxyz即1121xzy取，得1(,1,1),2n3||2n122(-333ABC求平面的单位法向量为，，）因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？思考2：设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则l∥ma∥bakb；线面平行∥u∥v.ukv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.线线平行l∥au0au；面面平行四、平行关系：111222(,,),(,,),laabcuabc设直线的方向向量为平面的法向量为则121212//00;lauaabbcc设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的...