第二章函数、导数及其应用第8讲函数与方程一、必记3个知识点1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二、必明2个易误区1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，易误为函数点．2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．三、必会3个方法1．函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2．三个等价关系(三者相互转化)3．用二分法求函数零点近似值的步骤第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；第二步：求区间(a，b)的中点c.第三步：计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步．考点一函数零点所在区间的判定信心+细心第1页共4页1．(2014·保定调研)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选B法一：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增、连续，又f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，所以函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一的零点且零点在区间(1,2)内．法二：作出函数y＝log3x与y＝－x＋2的图像(图略)，不难看出其交点的横坐标在区间(1,2)内，故选B.2．(2013·朝阳模拟)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)解析：选C由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0
0，∴f(1)·f(8)<0，又f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]的图像是连续的，故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]，∴(x－6)(x＋3)＝0. x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．答案：存在[类题通法]判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图像判断．考点二判断函数零点个数[典例](1)已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是()A．4B．3C．2D．1(2)函数f(x)＝x－x的零点个数为()A．0B．1C．2D．3[解析](1)由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1，又由f(－2)＝f＝－1.可得f(x)＝－2或f(x)＝.若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝；若f(x)＝，则x＝－或x＝，综上可得函数y＝f(f(x))＋1有4个零点．(2)令f(x)＝x－x＝0，得x＝x，求零点个数可转化为求两个函数图像的交点个数．如图所示，由图可知，两函数图像有1个交点，故选B.[答案](1)A(2)B[类题通法]函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：(1)令f(x)＝0；(2)构造y1＝f1(x)，y2＝f2(x)；(3)作出y1，y2图像；(4)由图像交点个数得出结论．考点三函数零点的应用[典例]若函数f(x)＝xlnx－a有两个零点，则实数a的取值范围为________...
