角平分线的性质一VIP免费

12.3角的平分线的性质不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？AOBC再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？对折如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？观察下面简易的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗？BDACE【证明】在△ACD和△ACB中AD=AB（已知）DC=BC（已知）CA=CA（公共边）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）BDACE根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）尺规作角的平分线画法：1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．2.分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．3.作射线OC．射线OC即为所求．OABNMC12证明:连接MC,NC由作法知:在△OMC和△ONC中OM=ON，MC=NC，OC=OC，∴△OMC≌△ONC(SSS)，∴∠AOC=∠BOC，即OC是∠ＡＯＢ的平分线.为什么OC是∠AOB的平分线?OABNMC将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明:∵ＯC平分∠ＡＯＢ,P是OC上一点（已知），∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义），∵PD⊥OA,PE⊥OB（已知），∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义），在△OPD和△OPE中∠DOP=∠BOP（已证），∠ODP=∠OEP（已证），OP=OP（已知），∴△OPD≌△OPE(AAS)，∴PD＝PE（全等三角形对应边相等）.已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证:PD=PE.PAOBCED12定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.用符号语言表示为：∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.PAOBCED12角的平分线的性质如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）s【跟踪训练】DCs【解析】作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求.O反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．证明:∵QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）.在Rt△QDO和Rt△QEO中QO＝QO（公共边），QD=QE（已知），∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL），∴∠QOD＝∠QOE，∴点Q在∠AOB的平分线上.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.∵∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：(1)∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(________________________________________)(2)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________(________________________________________________)ACDEB12∠1=∠2DC=DE角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.角的平分线上的点到角的两边的距离相等【跟踪训练】1.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.BAEDCF【解析】根据角的平分线的性质得DE=DF，再根据HL证明△BED≌△CFD,从而得到EB=FC.2.直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()A.一处B.两处C.三处D.四处【解析】选D.由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处,在各自夹角的平分线上，即：A、B、C、D各一处.ADCB3.（宁德·中考）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：_______________，并给予证明.BDAEFc【解析】解法一：添加条件：AE＝AF.在△AED与△AFD中，∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△AED≌△AFD（SAS）.解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA.在△AED与△AFD中，∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA，∴△AED≌△AFD（ASA）.1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2.角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.通过本课时的学习，需要我们掌握：