12.3角平分线的性质学习目标：学习目标：1.通过操作、验证等方式，掌握角平分线的性质定理2.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.AAＢＢＭＭＮＮＣＣ作法:⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.⑵分别以M,N为圆心,大于的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.⑶作射线OC,射线OC即为所求.12MN0温馨提示:作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!试一试由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法已知:AOB.∠求作:AOB∠的平分线.请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手：1、剪一个角，2、把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？3、把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？探究2---做一做(1)•将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?OABAOBED探究2---做一做(2)已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PDOA⊥，PEOB⊥，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.AOBPED证一证角平分线上的点到角的两边的距离相等你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？说一说AOBPEDPDOA⊥，PEOB⊥∵OP平分∠AOB∴PD=PE.用符号表示为：•把刚才的性质反过来：到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．想一想角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。∵∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用符号语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE说一说基本应用填空：(1).1=2,DCAC,DEAB∵∠∠⊥⊥∴___________(___________________________________________)(1).DCAC,DEAB,DC=DE∵⊥⊥∴__________(_______________________________________________)ACDEB12∠1＝∠2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等所以：角平分线可以看做到角的两边距离相等的所有点的集合3、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。ABCEFD2、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．GHM1、如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等ABCPMNDEF证明：过点P作PDAB⊥于D，PE⊥BC于E，PFAC⊥于F∵点P在△ABC的角平分线BM上（已作）∴PD=PE同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF即点P到三边AB、BC、CA的距离相等用一用（1）已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.温馨提示:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.BAEDCF用一用(2)丰收乐园回味无穷定理（文字语言）:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.符号语言：∵∠1＝∠2PD⊥OA,PE⊥OB(已知）∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).用尺规作角的平分线.OCB1A2PDE证明线段相等的方法：•１．全等三角形的对应边相等．•２．角平分线的性质定理•３．等角对等边•４．等腰三角形的三线合一•５.垂直平分线的性质定理到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE角平分线可以看做到角的两边距离相等的所有点的集合
