22．2二次函数与一元二次方程1．二次函数与一元二次方程的关系(1)探究：观察图22-2-1：图22-2-1①二次函数y＝x2＋x－1的图象与x轴有______个交点，则一元二次方程x2＋x－1＝0的根的判别式Δ______0.2>②二次函数y＝x2－4x＋4的图像与x轴有______个交点，则一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的判别式Δ______0.1＝③二次函数y＝x2－x＋2的图象与x轴________公共点，则一元二次方程x2－x＋2＝0的根的判别式Δ______0.无<归纳：(1)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是____，因此x＝x0就是方程______________的一个根．0ax2＋bx＋c＝0(2)如下表：两两一一0判别式：b2－4ac二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根b2－4ac＞0与x轴有____个公共点有________个实数根b2－4ac＝0与x轴有____个公共点有________个实数根b2－4ac＜0与x轴有____个公共点有________个实数根02.利用函数图象求一元二次方程的根步骤：(1)作函数图象；(2)确定根所在的________；(3)通过取________的方法不断缩小根所在的范围，直至符合题目要求．范围平均数知识点1函数与一元二次方程的关系【例1】已知函数y＝mx2－6x＋1(m是常数)的图象与x轴只有一个交点，求m的值．思路点拨：“只有一个交点”等价于“方程只有一个根”．解：当m＝0时，函数y＝－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，当m≠0时，∵函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，∴方程mx2－6x＋1＝0有两个相等的实数根．∴(－6)2－4m＝0，解得m＝9.故m的值为0或9.【跟踪训练】C1．函数y＝x2－2x－1的图象，与x轴的交点个数有()A．0个B．1个C．2个D．3个2．若抛线y＝(a－1)x2＋2x＋1与x轴只有一个交点，则a的值为________．2x－4.1－4.2－4.3－4.4y－1.39－0.76－0.110.56知识点2利用函数图象求一元二次方程的近似解【例2】利用二次函数的图象，求方程x2＋2x－10＝0的近似根(精确到0.1)．思路点拨：先借助二次函数图象确定方程的解的大致范围，再通过计算进一步精确．解：作二次函数y＝x2＋2x－10的图象如图D4，由图象可知方程x2＋2x－10＝0有两个根，一个在－5和－4之间，一个在2和3之间．因此两个根分别为－4点几和2点几，下面用计算器进行探索.x2.12.22.32.4y－1.39－0.76－0.110.56因此x＝－4.3是方程的一个近似根．另一个根也可以类似地求出：因此x＝2.3是方程的另一个近似根．图D4x－4.1－4.2－4.3－4.4x2＋2x－10－1.39－0.76－0.110.563．已知y＝x2＋2x－10，小明计算器列出了下表：那么x2＋2x－10＝0一个根是()CA．－4.1B．－4.2C．－4.3D．－4.44．如图22-2-2，(1)请在坐标系中画出二次函数y＝x2－2x的大致图象；(2)根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2－2x＝1的根在图上近似的表示出来(描点)；(3)观察图象，直接写出方程x2－2x＝1的根(精确到0.1)．图22-2-2解：(1)如图D5，y＝x2－2x＝(x－1)2－1，作出顶点，作出与x轴的交点，图象光滑．(2)正确作出点M，N.(3)方程的根为－0.4,2.4.图D5知识点3二次函数与一元二次不等式的关系【例3】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图22-2-3，根据图象回答下列问题：(1)写出关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集；(2)写出关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集．图22-2-3思路点拨：ax2＋bx＋c>0的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值；反之，ax2＋bx＋c<0的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴下方的部分所对应的x的取值．解：(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|13}．以a>0为例列表如下：b2－4ac的符号b2－4ac>0b2－4ac＝0b2－4ac<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|xx2}全体实数ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x15}6．如图22-2-5是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A(3,0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是__________．图22-2-5－1＜x＜3解析：∵二次函数的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点坐标为(3,0)，则另一个交点坐标为(－1,0)．∵不等式ax2＋bx＋c＜0即为y＜0的部分，∴不等式的解集是－1＜x＜3.【回顾与反思】
