＆2．1椭圆2．1.1椭圆及其标准方程【课标要求】1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程．2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．【核心扫描】1．利用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)2．会求简单的与椭圆相关的轨迹问题．(难点)自学导引1．椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的叫做椭圆的焦距．距离之和等于常数(大于|F1F2|)焦点，两焦点间的距离想一想：在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)焦点坐标(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a、b、c的关系c2＝a2－b2试一试：已知椭圆的标准方程中a＝5，b＝4，则椭圆的标准方程是什么？提示当焦点在x轴上时，其标准方程为__________，当焦点在y轴上时，其标准方程为__________.1162522yx1162522xy名师点睛1．椭圆的定义的应用(1)应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．(2)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体来灵活运用．2．椭圆标准方程的特点(1)a、b、c三个基本量满足a2＝b2＋c2且a>b>0，其中2a表示椭圆上的点到两焦点的距离之和，可借助如图所示的几何特征理解并记忆．(2)利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.椭圆中的直角三角形c隐含的已知条件题型一用待定系数法求椭圆的标准方程【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；(3)经过点(63，3)和点(223，1)．(2) 椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)． 椭圆经过点(0，2)和(1，0)，∴4a2＋0b2＝1，0a2＋1b2＝1⇒a2＝4，b2＝1，故所求椭圆的标准方程为y24＋x2＝1.(3)法一①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)． 点(63，3)和点(223，1)在椭圆上，∴（63）2a2＋（3）2b2＝1，（223）2a2＋12b2＝1.∴a2＝1，b2＝9.而a>b>0.∴a2＝1，b2＝9不合题意，即焦点在x轴上的椭圆的方程不存在．法二设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 点(63，3)和点(223，1)都在椭圆上，∴m·（63）2＋n·（3）2＝1，m·（223）2＋n·12＝1，即2m3＋3n＝1，8m9＋n＝1.∴m＝1，n＝19.∴所求椭圆的标准方程为x2＋y29＝1.规律方法求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．因为2a＝26，2c＝10，所以a＝13，c＝5.所以b2＝a2－c2＝144.所以所求椭圆标准方程为y2169＋x2144＝1.题型二椭圆定义的应用【例2】如图所示，点P是椭圆x25＋y24＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．[思路探索]可先利用a，b，c三者关系求出|F1F2|，再利用定义及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，最后求出S△F1PF2.规律方法在椭圆中，由椭圆上的点、两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多，要解...
