2．2双曲线2．2.1双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点)2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1、F2的距离的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这叫做双曲线的焦点，叫做双曲线的焦距．差的绝对值两个定点两焦点间的距离试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示(1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2想一想：如何判断方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)和y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)所表示双曲线的焦点的位置？提示如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F1、F2在坐标轴上，并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中a、b大小则不确定．(3)焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)或进行分类讨论．题型一求双曲线的标准方程【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P3，154，Q－163，5；(2)c＝6，经过点(－5，2)，焦点在x轴上．[思路探索]由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)和y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)或x2m＋y2n＝1(mn<0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)或x2λ－y26－λ＝1(0<λ<6)．解(1)法一若焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，由于点P3，154和Q－163，5在双曲线上，所以9a2－22516b2＝1，2569a2－25b2＝1，解得a2＝－16，b2＝－9(舍去)．若焦点在y轴上，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，将P、Q两点坐标代入可得22516a2－9b2＝1，25a2－2569b2＝1，解之得a2＝9，b2＝16，所以双曲线的标准方程为y29－x216＝1.法二设双曲线方程为x2m＋y2n＝1(mn<0)． P、Q两点在双曲线上，∴9m＋22516n＝1，2569m＋25n＝1，解得m＝－16，n＝9.∴所求双曲线的标准方程为y29－x216＝1.(2)法一依题意，可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．依题设有a2＋b2＝6，25a2－4b2＝1，解得a2＝5，b2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x25－y2＝1.法二 焦点在x轴上，c＝6，∴设所求双曲线方程为x2λ－y26－λ＝1(其中0<λ<6)． 双曲线经过点(－5，2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是x25－y2＝1.规律方法求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通...
