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多元复合函数微分法VIP免费

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高等院校非数学类本科数学课程————多元微积分学多元微积分学大学数学大学数学((三三))脚本编写:彭亚新课件制作:彭亚新第五讲多元复合函数微分法第五讲多元复合函数微分法主讲教师:彭亚新主讲教师:彭亚新第一章多元函数微分学第五节多元复合函数微分法熟悉多元函数全导数的概念和计算方法。熟练掌握复合函数的链导法则。能熟练地、准确地计算二、三元复合函数的导数。了解全微分形式不变性。本节教学要求:请点击第五节多元复合函数微分法一.全导数三.全微分形式不变性二.链导法则多元函数经复合运算后,一般仍是多元函数,但也可能成为一元函数.按前面关于多元函数的讨论方法,复合函数求导法则的研究可从复合后成为一元函数的情况开始.这就是全导数问题.一.全导数.dd,cos,sin,22tztbytaxyxz求设tbatbtayxz2sin41)cos()sin(222222222cos2sin241dd22ttbatz故tba4sin2122下面看另一种解法.例解.dd,cos,sin,22tztbytaxyxz求设例解tyyztxxztzdddddd)sin(2cos222tbyxtayxtba4sin2122你能由此猜想你能由此猜想到多元函数的复合函数到多元函数的复合函数求导法则吗?求导法则吗?你能由此猜想你能由此猜想到多元函数的复合函数到多元函数的复合函数求导法则吗?求导法则吗?zxyt+zxyttyyztxxztzdddddd,)(,)(,),(221121txxtxxxxfztxxztxxztzdddddd221121ddiiitxxz)(),(),,(均可导,则设tyytxxyxfz将例中的情形进行一般性的描述由此可推至一般的情况由此可推至一般的情况(全导数公式)),,1()(,),,(1可复合为设函数mixvvvfuiim.))(,),((1xxfum的点在相应于函数处可微在点若),,(,)(1xvvfxxmi处在点则复合函数处可微))(,),((,),,(11xxxfuvvmm,且可导miiixvvuxu1.dddd定理miiixvvuxu1ddddux1vmv2viv+全导数公式图示全导数公式图示(全导数公式)),,1()(,),,(1可复合为设函数mixvvvfuiim.))(,),((1xxfum的点在相应于函数处可微在点若),,(,)(1xvvfxxmi处在点则复合函数处可微))(,),((,),,(11xxxfuvvmm,且可偏导miiixvvuxu1.dddd现在证明定理定理)()(xxxviii),,1(mi||)o(||1vvvuumiii从而xvxvvuxumiii||)o(||1由一元函数导数导定义,取0x的极限:xvxviidd0||)o(||?xv给x以增量,相应地有x证证),,(1的可微性,有由mvvfu由)(xvii可导,故必连续,从而0x时,定理获证xvvvxvxx||||||||)||||o(lim)||||o(lim00为什么取绝对值?为什么取绝对值?221||||mvvv,0||||,0于是即有vvimiixvxvvv1200||||lim||||||)o(||lim.0设xxzsin,求.ddxz令,yxz,sinxy则xyyzxzxzddddzxxy1yyxxxxycoslnxxxxxxlncossinsin例解设以下函数满足定理的条件,;)(,)(,),(tyytxxyxfz;)(,)(,)(,),,(tzztyytxxzyxfu写出二元和三元函数的全导数公式:.)(,)(,),,(xzzxyyzyxfu请同学自己写请同学自己写例;)(,)(,),(tyytxxyxfztyyztxxztzddddddzxyt;)(,)(,)(,),,(tzztyytxxzyxfutzzutyyutxxutudddddddduxyzt开始对答案开始对答案开始对答案开始对答案.)(,)(,),,(xzzxyyzyxfuxzzuxyyuxuxudddddduxyzx你做对了吗?你做对了吗?一般多元复合函数的求导法则一般多元复合函数的求导法则二.链导法则假设所有出现的函数求导运算均成立,试想一下如何求下面函数的导数:,),,(wvufz.),(,),(,),(yxwwyxvvyxuu)),(),,(),,((yxwyxvyxufz.,yzxz求zuvwxy将y看成常数将y看成常数xzxuuzxvvzxwwzyzyuuzyvvzywwz将x看成常数将x看成常数分别将x,y看成常数,按全导数公式求导,而在具体运算时,实质上又是求多元函数的偏导数.分别将x,y看...

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