8.2（3）向量的数量积的坐标表示一、教学目标设计理解和掌握向量数量积的坐标表示；会根据坐标求两个向量的夹角；能把向量垂直关系转化理解和掌握向量数量积的坐标表示；会根据坐标求两个向量的夹角；能把向量垂直关系转化为坐标关系，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件为坐标关系，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件..通过学习，体会坐标化的过程和意义，发展通过学习，体会坐标化的过程和意义，发展数学思维能力数学思维能力..二、教学重点及难点向量数量积的坐标表示、垂直向量的坐标关系、利用坐标求两个向量的夹角.数形结合思想方法在解题中的运用数形结合思想方法在解题中的运用..教学用具准备教学用具准备三角板，直尺三角板，直尺((作图用作图用,,也可用多媒体作图也可用多媒体作图).).四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习回顾引入问题已知、是基本单位向量,则（1）的坐标是________，的坐标是________.课堂小结并布置作业两个向量的夹角公式问题引入数量积的坐标表示垂直向量的坐标关系.运用与深化(例题解析、巩固练习)（2）________；________.（3）若，，则与的位置关系是________，所以________.[说明]本题要求学生写出基本单位向量的坐标,并根据它们的位置关系,计算与的数量积.问题设计的目的,一是复习巩固向量的数量积和向量的坐标表示,二是加深学生对向量坐标的意义的理解,为进一步探究两个向量的数量积与它们坐标之间的关系作好准备.二、学习新课1.探究与、之间的关系已知两个向量，,试用和的坐标表示奎屯王新敞新疆由向量坐标的意义可知:，根据数量积运算性质,得又，，所以这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和奎屯王新敞新疆即例1已知，，求解：.[说明]通过此例熟悉公式.[问题延伸]可否在上述条件下求出与的夹角呢?（课本p68例7）[说明]当向量的坐标给出后,向量的方向就惟一确定了(除零向量),那么它们的夹角也就确定了,所以我们能够求出夹角.我们可以联想到上节课利用向量的数量积求两个向量夹角的方法,当我们根据坐标计算出两个向量的数量积时,意味着只要能根据坐标求出向量的模,问题就迎刃而解了.解:,.,因为，所以[说明]注意两个向量夹角的取值范围.2.两个向量的夹角公式显然,对于任意两个非零向量，我们都可以根据它们的坐标求得它们的夹角.一般地,设两个非零向量,的夹角为,则[说明]把向量的度量计算转化为坐标计算，这不仅揭示了向量身兼几何与代数双重身份的本质,又深刻体现了几何代数化的数学思想,这也是引入向量处理几何问题的根本所在.3.两个向量垂直的充要条件的坐标表示根据我们上节课学习的两个向量垂直的充要条件和上述坐标化的夹角公式，我们不难得到两个向量垂直的充要条件的坐标表示.已知，，那么的充要条件是.[说明]把之前学习的两个向量垂直的充要条件坐标化，渗透着数形结合的思想.简洁的形式,使之成为判断两个向量垂直最常用的方法.4.应用与深化例2已知，，，求：（1）；（2）（课本p67例5）解：（1），.（2），.[说明]①此例可以帮助学生进一步熟悉两个向量数量积的坐标运算，让学生体会数量积和实数与向量乘积的坐标运算结果的区别;②引导学生观察思考,得出结论:在一般情况下,.例3在中,已知A、B、C三点的坐标分别为、、，求证：是直角三角形.（课本p68例6）解：因为，，所以，即是直角三角形.[说明]此题根据三角形的三个顶点坐标,通过坐标运算,将坐标关系转化为位置关系.本题解法多样,可用两个向量垂直的充要条件、勾股定理或解析几何相关知识解答.在教学中可充分调动学生的积极性,引导学生得出多种解法,在此基础上,启发学生比较各种解法的优劣,体会应用代数方法进行几何证明的优越性.[问题变式]以原点和A(5,2)为顶点作等腰直角△OAB，使B=90，求点B和向量的坐标.解：设B点坐标(x,y)，则=(x,y)，=(x5,y2) ∴x(x5)+y(y2)=0,即x2+y25x2y=0又 ||=||∴x2+y2=(x5)2+(y2)2,即10x+4y=29由∴当点B坐标为时,=当点B坐标为时,=.[说明]本题与例3对应,需将度量关系转化为坐标关系解决问题.要注意,仅有垂直关系,点B不是唯一确定的,事实上点B的轨迹是以OA为直径的圆(除去O、A两点).实质上，该问题的几何...
