7.8(2)无穷等比数列的各项和（2）一、教学内容分析本小节的重点是无穷等比数列的各项和的公式的应用.教材在上一节已经介绍了无穷等比数列的各项和的公式，在此基础上进一步利用公式解决实际中的一些求和问题，将所学的理论知识应用到实际生活中.教材这样处理，体现了数学知识自身的科学性：理论知识来源于实际又进一步应用于实际中去，让学生深刻体会数学知识的内在规律和所学知识的应用价值.本小节的难点是正确把握无穷等比数列的各项和公式中的隐含条件：11,0qq,突破难点的关键在于对等比数列的前n项和与极限概念的深刻理解，有助于逻辑思维能力的发展.二、教学目标设计进一步理解和掌握无穷等比数列的各项和的公式；利用无穷等比数列的各项和公式解决一些实际应用问题;发展逻辑思维能力，强化应用意识.三、教学重点及难点无穷等比数列的各项和公式的应用;无穷等比数列的各项和公式中的隐含条件.四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习回顾用心爱心专心课堂小结并布置作业公式深刻理解复习回顾无穷等比数列的各项和应用各项和公式在实际中的应用公式的深化与实际应用(例题解析、巩固练习)思考并回答下列问题：1.无穷等比数列的各项和公式的回顾:1(0||1)1aSqq2.无穷等比数列的各项和公式中的隐含条件:当且仅当无穷等比数列的公比q满足0||1q时，其前n项和的极限才存在，在此基础上定义无穷等比数列的各项和,进一步得出计算公式.二、讲授新课1.无穷等比数列的各项和概念的进一步强化例题1已知无穷等比数列{an}的各项之和为4，求首项a1的取值范围.分析：无穷等比数列的各项和定义的前提条件是0||1q.解：设无穷等比数列{an}的公比为q，由题设知141aq，得1114qa又0||1q，故110114a，解得11111144aa，且，所以10448a（，）（，）.另解：141aq（）（0||1q），利用一次函数的值域来求解.[说明]（1）数学概念的深刻理解；（2）两种解法的比较：不等式的求解与函数思想.2.无穷等比数列的各项和的实际应用例题2如图（见课本第48页图7-13）在RtABC内有一系列的正方形，它们的边长依次为12,,...,,...naaa，若,2ABaBCa，求所有正方形的面积之和.分析：解决该实际问题的关键在于转化成一个无穷等比数列的各项和.用心爱心专心解：由题设知：1112aaABaBC，解得123aa.由112nnnaaa，得12(2)3nnaan所以正方形的面积22212,,...,,...naaa是一个首项为249a，公比为49的无穷等比数列，于是所有正方形的面积之和为:224494519aa.另解：所有正方形的面积之和等于RtABC的面积减去所有内部的三角形的面积之和，而第n个正方形的面积与内部对应的第n个三角形的面积之比为4：1,所以所有正方形的面积之和等于RtABC面积的45.[说明]（1）问题的实质：所有正方形的面积是一个无穷等比数列的各项和；（2）另解的关键在于图形中正方形与三角形的对应分析.三、巩固练习1.课本练习课本第48页练习7.8(2)第1,2,3题2.补充练习如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3，P4，…,Pn,…,记纸板Pn的周长、面积分别为nL、nS，求（1）limnnL；（2）limnnS.用心爱心专心P1P2分析：纸板Pn的周长等于n个半圆的周长（依次构成一个等比数列）与一条线段的长度的和，limnnL即是一个无穷等比数列的各项和;纸板Pn的面积等于一个半圆面积减去n-1个半圆的面积（依次构成一个等比数列）的和，limnnS即是一个半圆面积减去一个无穷等比数列的各项和所得的差.略解：（1）lim2112nnL；（2）8lim12314nnS.[说明]问题的关键在于转化为无穷等比数列的各项和.四、课堂小结1.无穷等比数列的各项和公式：S=qa11(10q)的理解；2．如何将某些实际问题转化为一个无穷等比数列的各项和；3．学会表达：等比数列无穷等比数列的前n项和无穷等比数列的各项和.五、课后作业1、书面作业：第21页习题7.8A组第4，6，7题第22页习题7.8B组第3，4题2、思考题：无穷等比数列na中，首...
