第3章三角恒等变换求值问题已知tanα＝4，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cosβ的值．思路点拨：由tanα求sinα，由cos(α＋β)求sin(α＋β)，再利用cosβ＝cos[(α＋β)－α]展开求解．[解]因为α，β均为锐角，所以0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－，所以＜α＋β＜π，且sin(α＋β)＝.因为tanα＝4，所以sinα＝，cosα＝.所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝.三角函数求值主要有三种类型，即1“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.2“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角，要注意角的范围.3“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.1．已知sinsin＝，α∈，求的值．[解]∵sinsin＝，∴sincos＝，sin＝，即cos2α＝.又α∈，2α∈(π，2π)，∴sin2α＝－1＝－＝－.∴＝＝＝－.化简与证明求证：＝.思路点拨：先对原式进行等价变形，同时注意应用“二倍角”的正弦、余弦、正切公式．[证明]证明原不等式成立，即证明1＋sin4θ－cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)成立．∵tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)＝(2cos22θ＋2sin2θcos2θ)＝2sin2θ(cos2θ＋sin2θ)＝2sin2θcos2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos4θ.∴＝.三角函数式的化简与证明要遵循“三看”原则1一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式.2二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”.3三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.2．化简：.[解]原式＝＝＝＝＝＝＝＝2.三角恒等变换的综合应用设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．思路点拨：分别表示两向量的模，利用相等求解x的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一个角的一种函数求解．[解](1)由|a|2＝(sinx)2＋sin2x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝sinxcosx＋sin2x2＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x＝∈时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.1．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．3．已知函数f(x)＝cos2－sincos－.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f(α)＝，求sin2α的值．[解](1)f(x)＝cos2－sincos－＝(1＋cosx)－sinx－＝cos.所以f(x)的最小正周期为2π，值域为.(2)由(1)知f(α)＝cos＝，所以cos＝.所以sin2α＝－cos＝－cos＝1－2cos2＝1－＝.转化与化归思想在三角变换中的应用【例4】已知tanα＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．思路点拨：先求tan(2α－β)的值，再结合2α－β的范围求2α－β的值．[解]∵tanα＝＞0，∴α∈，2α∈(0，π)，∴tan2α＝＝＝＞0，∴2α∈，又∵tanβ＝－＜0，β∈(0，π)，∴β∈，∴tan(2α－β)＝＝＝1，又∵2α∈，β∈，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－π.在三角函数的化简、求值中，常常对条件和结论进行合理的变换，通过转化沟通已知与未知的关系，角的转化、函数名称的转化、常数代换、幂的升降变换、结构变化等技巧在解题中经常用到，应熟练掌握.4．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值．[解]∵＜α＜，0＜β＜，∴－＜－α＜0，＜＋β＜π，3∴sin＝－＝－＝－，cos＝－＝－，∴sin(α＋β)＝－cos＝－cos＝－cos＋βcos－α＋sin＋β·sin－α＝－＝.4
