3.1.3两角和与差的正切学习目标核心素养(教师独具)1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.两角和与差的正切公式T(α－β)：tan(α－β)＝.T(α＋β)：tan(α＋β)＝.思考：公式Tα±β有何结构特征和符号规律？[提示](1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．1．tan15°＝________；tan75°＝________.2－2＋[tan15°＝tan(45°－30°)＝＝＝＝2－.tan75°＝＝＝2＋.]2．设α，β为锐角，且tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的根，则tan(α＋β)＝________.1[tanα＋tanβ＝，tanα·tanβ＝.tan(α＋β)＝＝1.]3.＝________.[原式＝＝tan(45°－15°)＝tan30°＝.]条件求值问题【例1】已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan2α，tan2β，tan.思路点拨：2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan可以用tan2α表1示出来．[解]tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－，tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝＝＝，tan＝＝＝.求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来运算的繁杂.1．已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan.[解]tan＝tan＝＝＝.给值求角【例2】已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，求α＋β.思路点拨：利用根与系数的关系求tanα＋tanβ及tanαtanβ的值，进而求出tan(α＋β)的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值．[解]因为tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝－3＜0，tanαtanβ＝4＞0，所以tanα＜0，tanβ＜0.又因为α，β∈，所以α，β∈，所以－π＜α＋β＜0.又因为tan(α＋β)＝＝＝，所以α＋β＝－.1．给值求角的一般步骤：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．2．选取函数时，应遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．2．已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________.－[由于tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝，所以α∈，2又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝1，而β∈，所以2α－β∈(－π，0)，故2α－β＝－.]T(α±β)公式的变形及应用[探究问题]1．你能结合T(α±β)的公式完成下列空格吗？(1)T(α＋β)的变形：tanα＋tanβ＝_________________________________.tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝________.tanαtanβ＝____________________________________.(2)T(α－β)的变形：tanα－tanβ＝__________________________________.tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝________.tanαtanβ＝____________________________________.提示：(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)tanαtanβ＝1－(2)tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝tan(α－β)tanαtanβ＝－12．结合T(α±β)公式想一想下列式子如何化简？(1)＝________；(2)＝________.提示：(1)＝＝tan(2)＝＝tan【例3】已知△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．思路点拨：充分结合T(α±β)的公式及变形求解．[解] tanA＋tanB＝tanAtanB－1，∴(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1，∴＝－，∴tan(A＋B)＝－.又 0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝， tanB＋tanC＋tanBtanC＝，tanC＝，∴tanB＋＋tanB＝，tanB＝，∴B＝，∴A＝，∴△ABC为等腰三角形．1．公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tanα·tanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)...
