3.1.1两角和与差的余弦学习目标核心素养(教师独具)1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点)3.能用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)通过学习本节内容提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.(2)两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.思考：cos(90°－30°)＝cos90°－cos30°成立吗？[提示]不成立．1．思考辨析(1)α，β∈R时，cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.()(2)cos105°＝cos45°cos60°－sin45°sin60°.()(3)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0.()(4)coscos＋sinsin＝cos2α.()[解析]正确运用公式．(1)中加减号错误．(2)(3)(4)正确．[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．cos75°＝________；cos15°＝________.[cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝.cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin30°sin45°＝.]3．cos45°cos15°＋sin15°sin45°的值为________．[cos45°cos15°＋sin15°sin45°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝.]两角和与差余弦公式的简单应用【例1】求下列各式的值：1(1)cos40°cos70°＋cos20°cos50°；(2)；(3)cos15°＋sin15°；(4)cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)．思路点拨：从所求式子的形式、角的特点入手，化简求值．[解](1)原式＝cos40°cos70°＋sin70°sin40°＝cos(70°－40°)＝cos30°＝.(2)原式＝＝＝cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝.(3) cos60°＝，sin60°＝，∴cos15°＋sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.(4)原式＝cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝.1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．提醒：要重视诱导公式在角的差异、函数名称的差异中的转化作用．1．求下各式的值(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°；(2)cos24°cos36°－sin24°cos54°.[解](1)cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.(2)原式＝cos24°cos36°－sin24°sin36°＝cos(24°＋36°)＝cos60°＝.已知三角函数值求角【例2】已知锐角α，β满足sinα＝，cosβ＝，求α＋β的值．思路点拨：先求出cosα，sinβ，再利用两角和的余弦公式求出cos(α＋β)，最后由α＋β的范围确定α＋β的值．[解]因为α，β为锐角，且sinα＝，cosβ＝，所以cosα＝＝＝，sinβ＝＝＝，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.由0<α<，0<β<，得0<α＋β<π.因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝.2已知三角函数值求角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数；第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围；第三步：根据角的范围写出所求的角.2．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．[解]由cosα＝，0<α<，得sinα＝＝＝.由0<β<α<，得0<α－β<.又 cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝＝.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，∴β＝.给值求值问题[探究问题]1．角“α＋β”“β”及“α”间存在怎样的等量关系？提示：α＋β＝α＋β；α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α.2．已知cos(α＋β)和sinβ的值，如何求cosα的值？提示：由α＝(α＋β)－β可知，cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ，故可先求出sin(α＋β)及cosβ的值，代入上式求得cosα的值．【例3】已知sinα＝－，sinβ＝，且π<α<，<β<π...
