中国教育学会中学数学教学专业委员会2014年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分1～56～1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交．一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分．每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设非零实数a，b，c满足2302340abcabc，，则222abbccaabc的值为（）．（A）12（B）0（C）12（D）12．已知关于x的不等式组255332xxxtx，恰有5个整数解，则t的取值范围是（）．（A）6＜t＜112（B）6≤t＜112（C）6＜t≤112（D）6≤t≤1123．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不．一定．．是有理数的为（）．（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且4BCCF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）．（A）3（B）4（C）6（D）85．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：32233333451160xyxyxyxyxy，且xyzxyz，则2013201232的值为（）．（A）607967（B）1821967（C）5463967（D）16389967二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．设33a，b是a的小数部分，c是2a的小数部分，则(4)bbc的值为．7．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是．8．已知正整数a，b，c满足2220abc，2380abc，则abc的最大值为．9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程20xcxd的两根为a，b，一元二次方程20xaxb的两根为c，d，则所有满足条件的数组()，，，abcd为．10．444444222222121231991001121231991001⋯的值为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，抛物线y23axbx，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113yx与y轴交于点D．求∠DBC∠CBE．12．设△ABC的外心、垂心分别为OH、，若BCHO、、、共圆，对于所有的△ABC，求BAC所有可能的度数．13．如图，设点D在△ABC外接圆上，且为BC的中点，点X在BD上，E是AX的中点，过△ABC的内心I作直线RT平行于DE，分别与BC，AX交于点R，T，设直线DR与ET交于点S．证明：点S在△ABC的外接圆上．14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数12naaa，，⋯，，满足对任意一个正整数m，在12naaa，，⋯，中都至少有一个为m的魔术数．中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．A解：由已知得(234)(23)0abcabcabc，故2()0abc．于是2221()2abbccaabc，所以22212abbccaabc．2．C解：根据题设知不等式组有解，解得，32t＜x＜20．由于不等式组恰有5个整数解，这5个整数解只能为15，16，17，18，19，因此14≤32t＜15，解得6＜t≤112．3．D解：因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝2ADBD是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数．由Rt△DOE∽Rt△COD，知2ODOEOC，·DCDODEOC都是有理数，而AC＝·ADAB不一定是有理数．4．C解：因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC．连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB=S△DEC，因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE=S△ACF．因为4BCCF，所以S△ABC=4S△ACF．故阴影部分的面积为6．5．C解：设201320124m，则20132012433m32323339274593316460mmmmmm，于是2013201232923223333923929245546310360967．二、填空题6．2解：由于2123aa，故1ba，22ca．所以223(4)(1)(124)(1)(1)12bbcaaaaaaa．7．13解：掷三次正方体，朝上的面的数和为3的倍数的是3，6，9，12，15，18，且3＝1＋1＋1，6＝1＋1＋4＝1＋2＋3＝2＋2＋2，9＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝1＋4＋4＝2＋2＋5＝2＋3＋4＝3＋3＋3，12...
