三角变换与解三角形一、填空题(本大题共8个小题，每小题6分，共48分)1．如果α∈(，π)，且sinα＝，那么sin(α＋)－cosα等于________．解析：sin(α＋)－cosα＝sinαcos＋cosαsin－cosα＝×＝.答案：2．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanA·tanB的值为________．解析：∵C＝120°，∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC＝－tan120°＝.又∵tan(A＋B)＝，∴＝.∴1－tanAtanB＝，tanAtanB＝.答案：3．(2010·湖南高考改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝a，则a、b的大小关系为________．解析：c2＝a2＋b2－2abcos120°⇒a2－b2－ab＝0⇒a2－b2＝ab>0⇒a>b.答案：a>b4．有四个关于三角函数的命题：p1：∃x∈R，sin2＋cos2＝p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－sinyp3：∀x∈[0，π],＝sinxp4：sinx＝cosy⇒x＋y＝其中的假命题是________．解析：sin2＋cos2＝1恒成立，p1错；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sinx－siny，p2对；当x∈[0，π]时，sinx≥0，∴＝＝sinx，p3对；当x＝π，y＝时，sinx＝cosy成立，但x＋y≠，p4错．答案：p1，p45．(2010·上海高考改编)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC的形状为__________．解析：由正弦定理知a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，可设a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，则cosC＝＝＝－<0，∴∠C是钝角．答案：钝角三角形6．已知sinβ＝msin(2α＋β)，且tan(α＋β)＝3tanα，则实数m的值为________．解析：因为sinβ＝msin(2α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝m[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]，也即(1－m)sin(α＋β)cosα＝(1＋m)cos(α＋β)sinα，所以＝＝3，所以m＝.答案：7．(2010·山东高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．解析：由题可知，sinB＋cosB＝，所以sin(B＋)＝，所以B＝，根据正弦定理可知＝，可得＝，故A＝.答案：8．(2010·全国卷Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos2α＝－，则tan(＋2α)＝________.解析：由cos2α＝2cos2α－1＝－，且α为第三象限角，得cosα＝－，则tanα＝2，tan2α＝－，tan(＋2α)＝＝－.答案：－二、解答题(本大题共3个小题，共52分)9．(本小题满分16分)已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜.(1)求tan2α的值；(2)求β.解：(1)由cosα＝，0＜α＜，得sinα＝＝＝，∴tanα＝＝×＝4，于是tan2α＝＝＝－.(2)由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜，又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝＝，由β＝α－(α－β)，且sinα＝得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，又∵0＜β＜，所以β＝.10．(本小题满分18分)(2010·重庆高考)设△ABC的内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，且3b2＋3c2－3a2＝4bc.(1)求sinA的值；(2)求的值．解：(1)由余弦定理得cosA＝＝.又0＜A＜π，故sinA＝＝.(2)原式＝＝＝＝＝－.11．(本小题满分18分)(2010·陕西高考)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30)°＝105°，在△DAB中，由正弦定理得＝，∴DB＝＝＝＝＝10(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×＝900，∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．答：救援船到达D点需要1小时．
