主要内容:第三章微分中值定理与导数的应用第四节函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法;二、曲线的凹凸性、拐点;三、函数凹凸性的判定法.f(x)0f(x)0•观察结果函数单调增加时导数大于零函数单调减少时导数小于零•观察与思考函数的单调性与导数的符号有什么关系?一、函数单调性的判定法定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在[ab]上连续在(a,b)内可导(1)如果在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上单调减少定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在[ab]上连续在(a,b)内可导(1)如果在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上单调减少由拉格朗日中值公式有f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1<0x2x1>0所以f(x2)f(x1)f()(x2x1)>0即f(x1)0∴函数在[0)上单调增加解函数yexx1的定义域为()yex1例1讨论函数yexx1的单调性定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在[ab]上连续在(a,b)内可导(1)如果在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上单调减少解函数yexx1的定义域为()yex1例1讨论函数yexx1的单调性定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在[ab]上连续在(a,b)内可导(1)如果在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上单调减少导数为零的点为:x0列表分析xyy(0][0)-+↘↗列表分析:不可导点x=0xyy(0)(0)-+↘↗解函数的定义域为()例2例3讨论函数32xy的单调性)0(323xxy函数在(0]上单调减少在[0)上单调增加.(1).确定函数的定义域;(2).求出导数f(x);(3).求出满足f(x)=0的点和导数不存在的点;(4).列表讨论做出总结。讨论函数单调性的步骤:xyy解这个函数的定义域为()函数f(x)在区间(0]、[1)上单调减少在区间[01]上单调增加(0)(01)(1)↗↘练习:讨论函数的单调性xxy3223,113xy导数为零的点x=1,不可导点x=0,↘--+问题:如何研究曲线的弯曲方向?xyo)(xfy图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo)(xfy图形上任意弧段位于所张弦的下方二、曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性定义设f(x)在区间I上连续对I上任意两点x1x2如果恒有那么称f(x)在I上的图形是凹的那么称f(x)在I上的图形是凸的如果恒有2)()()2(2121xfxfxxf2)()()2(2121xfxfxxf观察与思考:f(x)的图形的凹凸性与f(x)的单调性的关系.1)f(x)的图形是凹的2)f(x)的图形是凸的f(x)单调增加;f(x)单调减少.定理2(曲线凹凸性的判定法)设f(x)在[ab]上连续在(ab)内具有二阶导数.若在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上的图形是凹的若在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上的图形是凸的例5判断曲线yx3的凹凸性解y3x2y6x由y0得x0因为当x0时y0所以曲线在(0]上是凸的因为当x0时y0所以曲线在[0)上是凹的定理2(曲线凹凸性的判定法)设f(x)在[ab]上连续在(ab)内具有二阶导数.若在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上的图形是凹的若在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上的图形是凸的拐点连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的连接点称为该曲线的拐点拐点•讨论如何确定曲线yf(x)的拐点?如果(x0f(x0))是拐点,且f(x0)存在函f(x0)函函函函函函函函函函3231xy3292xxy•讨论曲线yx4是否有拐点?例6求曲线3xy的拐点例6解二阶导数无零点...