《2.4圆锥曲线的应用》同步练习一、选择题1．已知曲线C的方程为x3＋x＋y－1＝0，则下列各点中在曲线C上的点是()．A．(0，0)B．(－1，3)C．(1，1)D．(－1，1)解析点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上⇔f(x0，y0)＝0.答案B2．已知直线l的方程是f(x，y)＝0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线是()．A．直线lB．与l垂直的一条直线C．与l平行的一条直线D．与l平行的两条直线解析方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示过M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线．答案C3．给出下列曲线，其中与直线y＝－2x－3有交点的所有曲线是()．①4x＋2y－1＝0；②x2＋y2＝3；③＋y2＝1；④－y2＝1.A．①③B．②④C．①②③D．②③④解析 y＝－2x－3可变形为4x＋2y＋6＝0，显然与直线4x＋2y－1＝0平行，故排除A、C，将y＝－2x－3代入③＋y2＝1，并整理得9x2＋24x＋16＝0，即(3x＋4)2＝0.解之得答案D4．已知△ABC的顶点分别为A(－4，－3)，B(2，－1)，C(5，7)，则AB边上的中线的方程为________．解析因为AB中点的坐标为(－1，－2)，所以AB边上的中线方程为＝，即3x－2y－1＝0(－1≤x≤5)．答案3x－2y－1＝0(－1≤x≤5)5．人造卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点离地面距离为p，远地点离地面距离为q，地球的半径为R.则卫星运行轨道的短轴长为________．解析由于近地点与远地点到地球中心的距离的和为2a，∴2a＝(p＋R)＋(q＋R)，∴a＝R＋，c＝a－(p＋R)＝.∴b＝＝＝.∴短轴长为2.答案26．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线和椭圆有公共点时：(1)求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在直线的方程．解联立得方程组消去y，整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0，Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.(1)由Δ≥0，得20－16m2≥0，解得－≤m≤.(2)由根与系数的关系得所以弦长L＝＝＝.当m＝0时，L取得最大值.此时直线的方程为y＝x.7．已知双曲线x2－＝1，过P(2，1)点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为()．A．3B．4C．5D．6解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x－＝1与x－＝1得：＝＝6.答案D8．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()．A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0解析由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度|AB|＝＝5.设点C的坐标为(x，y)，则×5×＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.答案B9．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为________．解析AB＝－(－2，y)＝，BC＝(x，y)－＝.因为AB⊥BC，所以AB·BC＝0，所以·＝0，即y2＝8x.所以动点C的轨迹方程为y2＝8x.答案y2＝8x10．若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是________．解析设PQ中点为M(x，y)，P(x0，y0)，则∴又 y0＝2x＋1，∴2y＋1＝8x2＋1.即y＝4x2为所求的轨迹方程．答案y＝4x211．点A(3，0)为圆x2＋y2＝1外一点，P为圆上任意一点，动点M满足＝，求点M的轨迹方程．解设M(x，y)，P(x0，y0)．若AM＝MP，则(x－3，y)＝(x0－x，y0－y)，∴∴又 P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴(3x－6)2＋(3y)2＝1即(x－2)2＋y2＝.若AM＝－MP，则(x－3，y)＝－(x0－x，y0－y)∴∴又 P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴(－x＋6)2＋(－y)2＝1，即(x－6)2＋y2＝1.∴M点的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝或(x－6)2＋y2＝1.12．(创新拓展)设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．解法一直接法：如图所示，设OQ为过O的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ.设OC中点为M，则|MP|＝|OC|＝，由两点间距离公式得方程＝，考虑轨迹的范围知0
