[A组基础演练·能力提升]一、选择题1．设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝－4xC．y2＝8xD．y2＝4x解析：由准线方程为x＝－2，可知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，依题意设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，得p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝8x.故选C.答案：CX|k|B|1.c|O|m2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．答案：C3．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为()A．2B．18C．2或18D．4或16解析：设P(x0，y0)，则∴36＝2p，即p2－20p＋36＝0，解得p＝2或18.答案：CxKb1.Com4．(2013年高考四川卷)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是()A.B.C．1D.解析：由抛物线y2＝4x，有2p＝4⇒p＝2，焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨取其中一条x－y＝0，由点到直线的距离公式，有d＝＝.故选B.答案：B5．已知点P为抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A，则|PA|＋|PM|的最小值是()A.B．4C.D．5解析：设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F，又点A在抛物线外，抛物线的准线方程为x＝－，则|PM|＝d－，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以(|PA|＋|PM|)min＝.答案：C6．(2014年衡阳模拟)若点P到定点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是()A．y2＝－16xB．y2＝－32xC．y2＝16xD．y2＝16x或y＝0(x<0)解析： 点F(4,0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到定点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，∴点P到F(4,0)的距离与它到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p＝8.故点P的轨迹方程为y2＝16x.答案：C二、填空题7．(2013年高考北京卷)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；准线方程为________．www.xkb1.com解析：＝1，∴p＝2；准线方程：x＝－＝－1.答案：2x＝－18．(2013年高考江西卷)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.解析：如图，在正三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，∴B点坐标为.又点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.答案：69.如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽____________m.解析：用数形结合法．建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.当水面下降1m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y得x＝6，∴x0＝.∴水面宽|CD|＝2m.答案：2三、解答题10.如图所示，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．解析：(1)由得x2－4x－4b＝0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.将其代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2,1)．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.11.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)． 点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.XkB1.com(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)， PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y＝4x1，①y＝4x2，②www.xkb1.com∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)．∴y1＋y2＝－4....
