三排序不等式VIP免费

排序不等式探究一、排序不等式:设有两个有序实数组:12aa···na;12bb···nb.12,,ii···ni是1,2,···,n的任一排列,则有1122abab···+nnab(同序和)1212iiabab+···+nniab(乱序和)121nnabab+···+1nab(反序和)当且仅当12aa···=na或12bb···=nb时,等号成立.(证明从略).二、一个新的排序不等设有两个有序正实数组:012aa···na;012bb···nb.12,,ii···ni是1,2,···,n的任一排列,则有1()nab·21()nab···1()nab(反序积)11()iab·22()iab···()nniab(乱序积)11()ab·22()ab···()nnab(同序和)当且仅当12aa···=na或12bb···=nb时,等号成立.三、排序不等式再探定理1设有两个有序正实数组:012aa···na;012bb···nb.12,,ii···ni是1,2,···,n的任一排列,则有11ba·22ba···nbna(同序积)11iba·22iba···inbna(乱序积)1nba·12nba···1bna(反序积)当且仅当12aa···=na或12bb···=nb时,等号成立.证明:由012aa···na,得12lglgaa···lgna.又012bb···nb,于是由排序不等式有1122lglgbaba···+lgnnba(同序和)1212lglgiibaba···+lgninba(乱序和)112lglgnnbaba···+1lgnba(反序和)于是lg(11ba·22ba···nbna)lg(11iba·22iba···inbna)lg(1nba·12nba···1bna)因而原不等式得证.显然等号成立的条件是12aa···=na或12bb···=nb.说明:下面我们证明一个常见的不等式[2]设,,abcR,求证:3()abcabcabcabc证明:由对称性,不妨设0abc,则0abc.于是abcabcabcabcabcbcaabcabcabccababcabc三式相乘,整理便得.评注:本题传统的证法是运用作商法进行证明,但需要很高的变形技巧.本证法简洁美观,易于推广.定理2设有两个有序正实数组:121aa···na;121bb···nb.12,,ii···ni是1,2,···,n的任一排列,则有11ba+22ba+···+nbna(同序和)11iba+22iba+···+inbna(乱序和)1nba+12nba+···+1bna(反序和)当且仅当12aa···=na或12bb···=nb时,等号成立.证明:我们先来证明这样一个事实:若实数,,,abcd满足1ab;1cd.则cdabdcab.设dcx,1c,0x,令()xccxccabbfxa(其中eab),则'(lnln)()xcxcccaabbfxa,而1ab,得0xcxcab,0lnlnab,得'()fx0.所以()fx在[0,)上为减函数,故()(0)fxf=1,得1xccxccabba,变形得cddcabab.现在我们对乱序和0A11iba+22iba+···+inbna从左到右(可循环)进行如下调整:①若1kkiibb,我们交换kib与1kib的位置;②若1kkiibb,我们就不再交换了.(其中k1,2,···,n-1)设经第一次调整后得到的和式为1A,由上面事实我们有01AA,对于和式1A我们继续作以上调整,又得和式2A,3A,···经过有限次调整(可循环)最终必得和式'A=11ba+22ba+···+nbna.有01AA···'A,注意到以上调整等号成立的条件是12aa···=na或12bb···=nb,于是前一个不等式得证.类似的调整可证明后一个不等式.说明:到目前为止,有关该不等式的实例还很罕见.定理3设e12aa···na;e12bb···nb.12,,ii···ni是1,2,···,n的任一排列,则有()22()11()abnnabab(倒序方—从上而下)()2211()()abiinniiabiiab(乱序方)()1111()()abnnabnnab(顺序方—从上而下)当且仅当12aa···=na或12bb···=nb时,等号成立.证明:(1)我们先来证明这样一个事实:若实数1b,2b满足12ebb.则2112bbbb.作函数ln()xfxx(xe).则'21ln()xfxx0故()fx在(,)e为减函数,得12()()fbfb,即1212lnlnbbbb于是2112bbbb.(2)我们再来证明这样一个事实:若实数1212,,,aabb满足12eaa;12ebb.则221212()()()112121()()()abababababab.因为2212()()1121()()abababab22111121aaaaabab(i)而21aa12aa,21ab11ab.于是(i)得证.同样可知后一不等式也正确.现在我们对乱序方()2211()0()aibniniiabiiFab从上到下(可循环)经有限次调整为()221()11()abniniabiFab,则01FF,再将1F经有限次调整为()22()211()abnnabFab,则210FFF.注意到以上调整等号成立的条件是12aa···=na或12bb···=nb,于是前一不等式得证.类似的调整可证明后一个不等式.以上不等式因对称而优美,其应用还有待挖掘.全国最大最齐全的教学课件资源网：http://zhdduya100.taobao.com/QQ：1805986694，597161994更多资源下载地址：http://zhdduya100.taobao.com/