19.3.1矩形第19章四边形八年级数学下（HK）第1课时矩形的性质观察下面图形,长方形在生活中无处不在.导入新课情景引入思考长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？讲授新课矩形的性质一活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.矩形平行四边形矩形有一个角是直角矩形是特殊的平行四边形.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.归纳总结平行四边形不一定是矩形.思考因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？可以从边，角，对角线等方面来考虑.活动2：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.ABCDO（实物）（形象图）（2）根据测量的结果,你有什么猜想？猜想1矩形的四个角都是直角.猜想2矩形的对角线相等.你能证明吗？证明：由定义，矩形必有一个角是直角，设∠A=90°∵ABDC∥，ADBC∥，∴∠B=∠C=∠D=90°.（两直线平行，同旁内角互补）即矩形ABCD的四个角都是直角.已知,矩形ABCD.求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.ABCD证一证证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.ABCDO如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相较于点O.求证：AC=DB.矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有：矩形的四个角都是直角.矩形的对角线相等.归纳总结几何语言描述：在矩形ABCD中，对角线AC与DB相较于点O.∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB.ABCDO例1如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,求矩形对角线的长.解：∵四边形ABCD是矩形.∴AC=BD，OA=OC=AC,OB=OD=BD,∴OA=OB.又∵∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=4，∴AC=BD=2OA=8.ABCDO1212典例精析矩形的对角线相等且互相平分练一练1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）A．AB∥DCB．AC=BDC．AC⊥BDD．OA=OBABCDOC2.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BEAC∥交DC的延长线于点E.求证：BD=BE,ABCDOE证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,ABCD∥.又∵BEAC∥,∴四边形ABEC是平行四边形,∴AC=BE,∴BD=BE.直角三角形斜边上的中线的性质二ABCDO活动：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.BCOA问题Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.试给出数学证明.OCBAD证明:延长BO至D,使OD=BO,连接AD、DC.∵AO=OC,BO=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证:BO=AC12∴BO=BD=AC.12121.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.性质证一证如图，在△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC=_____cm;(2)若∠C=30°,AB=5cm,则AC=_____cm,BD=_____cm.ABCD6105练一练1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对角线相等B.对边相等C.对角相等D.对角线互相平分2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为()A.13B.6C.6.5D.不能确定3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是()A.20°B.40°C.80°D.10°ACC当堂练习4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=______cm．2.55.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______．6第4题图第5题图矩形的相关概念及性质具有平行四边行的一切性质四个内角都是直角，两条对角线互相平分且相等直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有一个角是直角的平行四边形叫做矩形课堂小结
