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一二维形式的柯西不等式[学习目标]1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，以及定理1、定理2、定理3等几种不同形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等式的代数形式和向量形式以及定理1、定理2、定理3，证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值.[知识链接]1.预习教材后，想一想在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以是ab＝cd吗？提示不可以.bd＝0时，柯西不等式成立，但ab＝cd不成立.2.设平面上两个向量为α＝(a1，a2)，β＝(b1，b2)，如何证明|α||β|≥|α·β|?提示 cos〈α，β〉＝α·β|α||β|＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22∴cos2〈α，β〉＝（a1b1＋a2b2）2（a21＋a22）（b21＋b22）≤1，即(a21＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2，a21＋a22·b21＋b22≥|a1b1＋a2b2|.∴|α||β|≥|α·β|，等号成立的充要条件为α＝λβ(λ≠0).[预习导引]1.二维形式的柯西不等式(1)定义：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥_______，当且仅当ad＝bc时，等号成立.(2)二维形式的柯西不等式的一些变式变式1：a2＋b2·c2＋d2≥_______(当且仅当ad＝bc时，等号成立)变式2：(a＋b)(c＋d)≥___________.(a，b，c，d∈R＋，当且仅当ad＝bc时，等号成立)变式3：a2＋b2·c2＋d2≥_________(当且仅当|ad|＝|bc|时，等号成立)(ac＋bd)2|ac＋bd|(ac＋bd)2|ac|＋|bd|2.柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则__________，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.3.二维形式的三角不等式|α·β|≤|α||β|设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥________________________.（x1－x2）2＋（y1－y2）24.设平面上三点坐标为A(a1，a2)、B(b1，b2)、C(c1，c2)，则（a1－b1）2＋（a2－b2）2＋（b1－c1）2＋（b2－c2）2≥____________________________，其几何意义为：|AB|＋|BC|≥|AC|.5.设α，β，γ为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|，等号成立的充要条件为______________________.（a1－c1）2＋（a2－c2）2α－β＝λ(β－γ)(λ＞0)要点一利用柯西不等式证明有关不等式例1设a，b，c为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2(a＋b＋c).证明由柯西不等式：a2＋b2·12＋12≥a＋b即2·a2＋b2≥a＋b同理：2·b2＋c2≥b＋c2·a2＋c2≥a＋c.将上面三个同向不等式相加得：2(a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2)≥2(a＋b＋c)，∴a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2≥2·(a＋b＋c).规律方法二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的，不是任意的搭配，因此要仔细体会，加强记忆.例如，(a2＋b2)·(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是错误的，而应有(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ad＋bc)2.跟踪演练1设a1，a2，a3为正数，求证：a31＋a21·a2＋a1·a22＋a32＋a32＋a22·a3＋a2·a23＋a33＋a33＋a23·a1＋a3·a21＋a31≥2(a31＋a32＋a33).证明a31＋a21·a2＋a1·a22＋a32＝(a1＋a2)(a21＋a22)，由柯西不等式得：[(a1)2＋(a2)2]·(a21＋a22)≥(a1a1＋a2a2)2，于是a31＋a21·a2＋a1·a22＋a32≥(a31＋a32)2，故a31＋a21·a2＋a1·a22＋a32≥a31＋a32，同理：a32＋a22·a3＋a2·a23＋a33≥a32＋a33，a23＋a23·a1＋a3·a21＋a31≥a31＋a33，将以上三个同向不等式相加即得a31＋a21·a2＋a1·a22＋a32＋a32＋a22·a3＋a2·a23＋a33＋a33＋a23·a1＋a3·a21＋a31≥2(a31＋a32＋a33).例2设a，b∈R＋，且a＋b＝2.求证：a22－a＋b22－b≥2.证明根据柯西不等式，有[(2－a)＋(2－b)]a22－a＋b22－b＝[(2－a)2＋(2－b)2]a2－a2＋b2－b2≥2－a·a2－a＋2－b·b2－b2＝(a＋b)2＝4.∴a22－a＋b22－b≥4（2－a）＋（2－b）＝2.∴原不等式成立.规律方法利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形.这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口.跟踪演练2已知a＞b＞c.求证：1a－b＋1b－c≥4a－c.证明原不等式可变形为(a－c)...