立体几何专题——空间几何体题型一平面的性质例1下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是________．由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，②错．③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示．【解析】总结对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理3中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件．另外，对于平面几何中的一些正确命题，包括一些定理推论，在空间几何中应当重新认定，有些命题因为空间中位置关系的变化，可能变为错误命题，学习中要养成分类讨论的习惯，再就是结合较熟悉的立体几何图形或现实生活中的实物进行辨析，也可利用手中的笔、书本等进行演示，验证．2.如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是①②④题型二多面体的表面积和体积例3(1)如上图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，求以A、(B)、C、D、O为顶点的四面体的全面积和体积．【解析】翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为22的正三棱锥，斜高为2，高为263，所以该四面体的全面积为：3×(12×4×2)＋34×42＝12＋43，体积为13×12×16×32×263＝823.【答案】12＋43，823(2)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()【解析】由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱，所以该直四棱柱的表面积为：S＝2×12×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×1＋16×4＝48＋817.总结求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．题型三旋转体的表面积和体积例4(1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.【解析】由三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、宽、高分别为3、2、1，上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋13π×3＝6＋π.【答案】6＋π(2)如右图所示，在直径AB＝4的半圆O内作一个内接直角三角形ABC，使∠BAC＝30°，将图中阴影部分，以AB为旋转轴旋转180°形成一个几何体，求该几何体的表面积及体积．【解析】AB＝4，R＝2，S球＝4πR2＝16π，设DC＝x，则AC＝2x，BC＝xsin60°＝23x3，在Rt△ABC中，4x2＋4×3x29＝16，x＝3，S锥侧上＝πrl＝π·3·23＝6π，S锥侧下＝πrl＝π·3·2＝23π，S表＝12(S球＋S锥侧上＋S锥侧下)＝(11＋3)π.∴V＝12(V球－V锥上－V锥下)＝1243πR3－13πCD2AD＋BD＝103π.题型四利用割补法求体积例5(1)已知正方体AC1的棱长为a，E，F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．【解析】因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝a2＋a22＝52a，所以四棱锥A1－EBFD1的底面是菱形，连接EF，则△EFB≌△EFD1，由于三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1等底同高，所以VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EBA1＝2·13·S△EBA1·a＝16a3.思考题1正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为【解析】设棱锥的高为h，VDGAC＝VGDAC＝13S△ADC·12h，VPGAC＝12VPABC＝VGABC＝13S△ABC·h2.又S△ADC∶S△ABC＝2∶1，故VDGAC∶VPGAC＝2∶1.
